3.2. Синтез в плоскости z с помощью метода корневого годографа

Корневой годограф описывает движения корней уравнения (3.1) в виде функции коэффициента усиления. Корни находятся для определенного значения коэффициента усиления исходной системы. В большинстве случаев проектировщик сталкивается с необходимостью видоизменения исходного годографа для получения более приемлемых корней.

Рис. 3.5. Замкнутая импульсная система с импульсной коррекцией.

Корневой годограф может быть видоизменен с помощью последовательного включения импульсных схем или цифровых вычислительных устройств, как показано на рис. 3.5.

Видоизмененный корневой годограф может быть построен наложением годографов постоянного фазового угла последовательно соединенных элементов на плоскости z и определением точек, которые дают сумму, равную

Изменение формы корневого годографа для получения требуемых корней может сопровождаться подбором постоянных величин параметров стабилизирующих элементов контура, в качестве которых могут использоваться цифровые вычислительные устройства или импульсные схемы.

Таким путем может быть получена качественная картина того, как изменяется исходный корневой годограф в зависимости от вида этих стабилизирующих элементов. Ввиду того что большинство импульсных систем второго или более высокого порядка становятся менее устойчивыми при увеличении коэффициента усиления, проблема изменения формы корневого годографа в плоскости z оказывается более сложной, чем в непрерывном случае. Вследствие этого для синтеза таких систем метод проб и ошибок имеет большее значение, чем для синтеза непрерывных систем. Корректирующий эффект стабилизирующих звеньев в случае импульсных схем ограничен практическими соображениями относительно реально возможных значений параметров звеньев. Однако цифровые вычислительные устройства могут использоваться более свободно, так как на них накладывается меньше ограничений.

Пример. Рассмотрим импульсную систему регулирования с фиксирующей цепью нулевого порядка, изображенную на рис. имеет следующий вид:

Этой системе второго порядка с последовательно подключенной фиксирующей цепью нулевого порядка соответствует вида

Уравнение корневого годографа может быть выведено, если фазовый угол приравнять те. Из этих условий может быть получено следующее уравнение

где

Часть корневого годографа, описываемая уравнением (3.12), представляет собой уравнение окружности в плоскости z. Эти окружности, построенные для различных значений изображены на рис. 3.6.

Можно заметить, что корни, при максимально допустимом из условий устойчивости коэффициенте усиления, оказываются комплексными при малом и действительными при большом Переход от одного типа корней к другому происходит при Следовательно, эта система может оказаться неустойчивой на одной из двух частот: 1) при при

В качестве иллюстрации на рис. 3.7 и 3.8 изображены двухкорневые годографы для равного соответственно 2 и , и а в уравнении (3.12), равного 1.

Рис. 3.6. Семейство корневых годографов системы, исследуемой в примере, для различных значений

Если значения подставить в уравнение (3.11), то

Годографы постоянной фазы, соответствующие уравнению (3.14), получаются наложением годографов постоянного фазового угла двух составных частей т. е. наложением прямых и окружностей.

Рис. 3.7. Корневой годограф для

Корневой годограф получается нахождением точек, для которых сумма равна Различные годографы постоянной фазы и корневой годограф построены на рис. 3.9.

(кликните для просмотра скана)

Часть уравнения корневого годографа может быть получена из (3.12) в виде

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с радиусом, равным 1,368, и центром в точке , что совпадает с графическим построением, проведенным на рис. 3.9.

Коэффициент усиления К может быть найден из уравнения (3.14) следующим образом:

Действительные корни для значений получаются из корневого годографа, изображенного на рис. 3.9. Для этого примера корни равны

Максимально допустимый коэффициент усиления определяющий границу устойчивости, получается в точке пересечения корневого годографа с окружностью единичного радиуса. В этой точке корни равны

причем что для данной системы является пределом с точки зрения устойчивости.

Предположим, что система, описываемая уравнением (3.14), должна быть улучшена с помощью импульсной схемы или цифрового корректирующего устройства, как показано на рис. 3.5. Тогда передаточная функция корректирующего устройства может быть выражена через полюсы и нули в плоскости простейшем случае она записывается следующим образом:

Если выбирать корректирующее устройство в форме, заданной уравнением (3.19), то оно будет стабилизировать систему, если При этом форма исходного корневого годографа изменяется так, что большая часть нового корневого годографа лежит внутри окружности единичного радиуса, как это можно заметить из годографов постоянной фазы этой функции и видоизмененных корневых годографов, изображенных на рис. 3.10.

Обозначим коэффициент усиления импульсной цепи или дискретного корректирующего устройства через он выбирается в пределах, допустимых для корректирующего устройства. Пусть

Тогда уравнение (3.19) запишется так:

Импульсная передаточная функция разомкнутого скорректированного контура в этом случае имеет вид

(кликните для просмотра скана)

Корневой годограф для изображен на рис. 3.10, и значение коэффициента усиления К может быть найдено следующим образом:

Если предполагается, что пара новых корней скорректированной системы находится на том же расстоянии от начала координат, что и корни исходного годографа при то новые корни на основании рис. 3.10 равны:

Коэффициент усиления для этих корней равен

Предельное значение коэффициента усиления для этого случая может быть найдено в точке, в которой видоизмененный корневой годограф пересекает окружность единичного радиуса. Корни при этом равны:

Предельное значение равно

Таким образом, можно отметить, что скорректированная система имеет запас устойчивости больший, чем исходная, но значения коэффициента усиления все еще ограничены условиями устойчивости. Это характерно для всех импульсных систем регулирования высокого порядка, т. е. при увеличении коэффициента усиления корни всегда стремятся выйти из пределов окружности единичного радиуса.

Параметры процессов исходной и скорректированной систем при подаче на их вход единичного скачка приводятся в табл. 3.2.

Таблица 3.2 (см. скан) Переходные функции исходной и скорректированной систем