9.7. Запаздывающие функции

В сущности, основной задачей при исследовании любой импульсной системы является выяснение зависимости между преобразованиями Лапласа входной и выходной величин импульсного элемента. Если это соотношение известно, то для нахождения преобразования

Лапласа выходной величины системы его нужно умножить на передаточную функцию последующего элемента. Для рассматриваемых линейных систем, т. е. для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, найдено, что простейшая форма изображения входной величины любого каскада представляется функциями вида

где параметр представляет собой запаздывание, измеренное в секундах, а выражение является дробно-рациональной функцией от Все другие виды изображений входных величин могут быть получены путем конечного или бесконечного суммирования подобных простейших функций. Поэтому нахождение выходной величины импульсного элемента в предположении, что на его вход подается воздействие, изображение которого выражается такой простейшей функцией, определяемой уравнением (9.75), является важным и основным этапом при конструировании. Зная это, можно найти изображение выходной величины импульсного элемента для входной величины любого вида путем суммирования простейших изображений.

Обозначим через выражение обратного преобразования Лапласа для изображения входящего в выражение (9.75):

Пусть теперь представляет собой произвольную функцию времени, которая изображена на рис. в этом случае представляющее собой обратное преобразование выражения (9.75), изобразится той же самой функцией времени, сдвинутой на величину, равную а секундам, вдоль положительного направления оси времени, как это показано на рис. Таким образом, выражение для может быть записано в виде

где через обозначено запаздывание в а секунд вдоль положительной оси времени.

Предположим, что подается на вход периодического импульсного элемента; в этом случае соответствующая выходная величина импульсного элемента имеет вид функции времени, изображенной на рис. 9.17, г. Эта функция, однако, может быть получена умножением входной величины импульсного элемента на единичную импульсную функцию Эта единичная импульсная функция и изображена на рис. 9.17, в. Следовательно, выходная величина импульсного элемента может быть записана в виде

Преобразование Лапласа выражения (9.78) зависит от соотношения между запаздыванием а, периодом повторения и длительностью импульса

Рис. 9.17. (см. скан) Соотношение между входной и выходной величинами элемента запаздывания: а) произвольная функция времени функция задержанная на а секунд, рассматриваемая как входное воздействие на периодический импульсный элемент; в) единичная импульсная функция выходная величина периодического импульсного элемента.

Предположим, что

где положительные целые числа и

Вообще, возможны три различных случая:

Рассмотрим случай (рис. 9.17). Выходная величина импульсного элемента равна нулю вплоть до момента и эту величину удобно записать в виде произведения функции на функцию которое запаздывает на а секунд. Таким образом, выходная величина может бьпь представлена в виде

Преобразование Лапласа выражения (9.81) находится из интеграла свертки в комплексной области и имеет вид

или

Выражение (9.83) сходно по виду с выражением (9.71). Применяя те же самые обозначения, которые применялись там, запишем выходную величину в виде

Таким образом, при условии (9.84) представляет собой выражение преобразования Лапласа выходной величины импульсного элемента. Аналогичным путем могут быть получены соответствующие выражения и для остальных двух случаев. Эти выражения приведены во второй строке табл. 9.3 (стр. 349).

Рассмотрим тот частный случай, когда т. е.

Изображение входной величины, таким образом, имеет вид

а соответствующее изображение выходной величины, определяемое

выражением (9.84), становится равным

Другими словами, запаздывания, кратные периоду повторения, могут быть вынесены за знак -преобразования.

Предположим теперь, что входная величина импульсного элемента представляет собой периодическую функцию времени с периодом равным периоду повторения. В этом случае преобразование Лапласа входной величины импульсного элемента в общем случае будет равно

где положительные целые числа. Если предположить, что импульсный элемент синхронизирован, и использовать соотношения (9.87), то изображение выходной величины импульсного элемента будет иметь вид

Обобщая, можно заключить, что если входная геличина синхронного и периодически работающего импульсного элемента может быть выражена через функции запаздывания, времена запаздывания которых кратны периоду повторения так, что изображение входной величины имеет вид

где все целые числа, а выражение представляет дробно-рациональную функцию от 5, то изображение соответствующей выходной величины импульсного элемента будет равно

Соотношения (9.88) и (9.89) приобретают особую важность при анализе многократных импульсных систем. В табл. 9.3 и 9.4 приведены другие соотношения между изображениями входных и выходных величин для различных случаев запаздывания периодических входных величин и импульсных элементов с запаздыванием.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)