9.3. Предельные случаи p-преобразования и ограничения метода z-преобразования

Ясно, что результаты, получаемые с помощью -преобразования, должны удовлетворять некоторым известным предельным случаям.

Рис. 9.10. Предельные случаи импульсной функции

Представляет интерес рассмотрение этих предельных случаев и сравнение результатов с ожидаемыми исходя из физических соображений. Существует четыре предельных случая:

1. , а функция обладает любой конечной амплитудой К (рис. 9.10, а).

2. , но функция представляет единичный мгновенный импульс (т. е. имеет бесконечную амплитуду и площадь, равную единице) (рис. 9.10, б).

3. , т. е. функция представляет собой единичный скачок (рис. 9.10, в).

4. мало по сравнению с постоянными времени системы (рис. 9.10, г).

Случай 1.

Первый случай изображен на рис. 9.10,а. Длительность импульса равна 0, а функция имеет конечную амплитуду К. Этот случай тривиален. При этих условиях преобразование Лапласа для импульсной функции имеет вид

Сигнал на выходе импульсного элемента равен нулю, а система находится в состоянии покоя. Этого и следовало ожидать, так как при этих условиях система не получает энергии, которая могла бы вызвать в ней изменения. Случай 2.

Второй случай изображен на рис. 9.10, б. Теперь длительность импульса равна 0, но функция представляет собой единичный импульс (с площадью, равной единице), а значит,

Подставляя выражение для из (9.30) в выражение (9.3), получим

Это соотношение используется при определении -преобразования для функции Следовательно, справедливо равенство

где К представляет собой амплитуду функции

Рассматриваемый случай возникает в тех задачах, когда поведение системы математически может быть описано с использованием реальных импульсов (см. также случай 4). В таких случаях для нахождения решения могут быть использованы таблицы -преобразований и модифицированных -преобразований, а также таблицы их обратных преобразований совместно с табл. 9.2. Случай 3.

Третий случай изображен на рис. 9.10, в. В этом случае длительность импульса равна а функция имеет единичную

амплитуду. Из табл. 9.1 и уравнения (9.5) нетрудно видеть, что имеет место соотношение

Очевидно, что этого и следовало ожидать. Из уравнений (9.33) и (9.20) следует, что

Это выражение не очевидно, и его нельзя усмотреть в таблицах обратных преобразований из-за специфики способа, примененного для вычисления обратного -преобразования. Однако можно доказать как аналитически, так и численно, что соотношение (9.34) удовлетворяется для любой пары -преобразований, приведенных в табл. 9.2. Например, для системы, изображенной на рис. 9.8, из уравнений (9.25) и (9.28) следует ожидать, что справедливо соотношение

Из рис. 9.9 видно, что это соотношение удовлетворяется для принятого значения периода секунды. Это свойство -преобразования важно в том отношении, что представляет собой удобный способ проверки результатов вычислений.

Случай 4.

Четвертый случай изображен на рис. 9.10, г. Длительность импульса мала по сравнению с постоянными времени системы. Этот случай лучше всего иллюстрировать примером. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 9.8, в которой имеется одна единственная постоянная времени Если предположить, что ко входу приложено воздействие вида скачка, то изображение выходной величины будет равно

При числитель может быть разложен в ряд по степеням и если, как это предполагается, длительность импульса достаточно мала, так что можно пренебречь членом и более высокими степенями, то выражение для достаточно близко аппроксимируется выражением

где соответствует приближенному значению изображения. Выражение (9.37) представляет собой приближенное -преобразование, которое мы используем для анализа таких систем. Из сравнения выражений (9.36) и (9.37) видно, что эта замена равносильна тому, что конечные импульсы уравнения (9.36), которые имеют площади, равные соответствует единичному скачку на входе), заменены импульсами равной площади. Для нахождения приближенного изображения эти импульсы умножаются на передаточную функцию системы. В следующем разделе будет получено выражение, обратное выражению (9.36), для того, чтобы сравнить его с приближенным обратным выражением, полученным из выражения (9.37). Тем самым будет показана степень приближения, совершаемая при использовании выражения (9.37).

Для ясности целесообразно разделить ось времени на четыре области соответственно четырем циклам действия импульсного элемента. Выразим эти области следующим образом:

(см. скан)

Группы значений и (III) являются граничными точками. Выражение (9.36), представляющее собой точное изображение выходного сигнала, может быть записано так:

Пусть

Из этих выражений последовательными вычислениями можно найти обратную функцию времени в виде

Последующие значения этой функции могут быть найдены следующим образом: при для областей (II) и (III), имеет место выражение

а при т. е. для областей (III) и будем иметь

Выходная величина в начальные моменты съема может быть найдена из выражения (9.42) и имеет вид

где [см. выражение (9.39)].

Из выражения (9.44) получаем значения для выходной величины в начальные моменты съема так как оно получено из точного преобразования. Когда отношение постоянная времени) настолько мало, что мы можем пренебречь величиной и более высокими степенями то первый член разложения в ряд функции достаточно точно аппроксимирует ее, так что можно записать

Подставляя (9.45) в выражение (9.44), получим хорошее приближение для выходной величины в момент

Аналогично, если подставить (9.45) в выражения (9.42) и (9.43), то получим хорошее приближение для выходной величины в соответствующих интервалах времени. Эти соотношения могут быть записаны следующим образом: для т.е. для областей (II) и (III),

а для т. е. для областей (I), (III) и (IV),

Выражения (9.46), (9.47) и (9.48) представляют собой приближения, полученные для выражений (9.42), (9.43) и (9.44), соответствующих точному процессу.

Рассмотрим выражение (9.37), определяющее приближенное преобразование Это выражение может быть разложено в ряд следующим образом:

Импульсная переходная функция системы выражается так:

Таким образом, обратное преобразование, соответствующее выражению (9.49) и представляющее собой приближенное выражение для временной функции, имеет вид

Из этого выражения выходная величина в моменты может быть записана в виде

где (в данном случае).

Подобным же образом выходная величина для любого другого момента времени т. е. для областей (III) и (IV), может быть представлена в виде

Выражения (9.52) и (9.53) определяют временные функции, которые получаются в результате применения выражения (9.37) в качестве приближения для выражения (9.36).

Как известно, при использовании метода z-преобразования мы можем получить сведения только для моментов съема Следовательно, если подвергнуть -преобразованию выражение (9.37) для вычисления процесса в эти моменты, то получим результаты, идентичные результатам, получаемым из выражения (9.52).

Если сравнить приближенное решение (9.52), полученное при применении метода -преобразования, и приближенное решение (9.46), то видно, что ошибка в моменты равна

Из уравнений (9.39) и (9.50) видно, что если равно нулю, то для любого конечного входного воздействия и любой импульсной переходной функции также равно нулю. Таким образом, при условии ошибка в моменты не существует. Но если не равно нулю, то даже при конечном входном воздействии в моменты появляется ошибка. Следовательно, можно утверждать, что использование метода -преобразования [уравнение (9.37)] для определения процесса в импульсной системе с конечным временем съема данных неправомерно и приводит к ошибочным результатам, за исключением случая, когда передаточной функции системы соответствует непрерывная импульсная переходная характеристика, т. е. когда степень ее знаменателя относительно выше степени числителя на два порядка или более.

При сравнении уравнения (9.53) с уравнениями (9.47) и (9.48) обнаруживается, что решение, как функция времени, полученное из приближенного изображения, не соответствует хорошему приближению на интервале т. е. в области Это положение справедливо для системы любого порядка, и его можно доказать при помощи разложения на простые дроби. Доказательство этого положения для интервала первого импульса элементарно.

В качестве примера рассмотрим передаточную функцию общего вида, а именно:

где может иметь любой порядок. Приближенное изображение, полученное из выражения (9.55), имеет вид

Ясно, что выражение (9.56) и, следовательно, соответствующая ему функция времени являются приемлемым приближением выражения (9.55) только при независимо от степени и от метода, примененного для вычисления обратного преобразования. Отсюда вытекает следующее утверждение.

Рассмотрим систему, передаточная функция которой равна а входное воздействие представляет собой последовательность конечных импульсов длительностью Лис периодом повторения Если мало по сравнению с постоянными времени системы, то приближенно выходную величину можно рассматривать как реакцию на мгновенные импульсы, эквивалентные по площади истинным импульсам. Вообще, при этом возможны два случая.

1. обладает разрывной импульсной характеристикой. В этом случае решение представляет хорошее приближение только на

протяжении интервалов времени в областях (III) и (IV). Эти интервалы не включают в себя моменты Следовательно, приближение, полученное на основе -преобразования, дает совершенно неправильные результаты. Однако метод модифицированного -преобразования может быть использован для нахождения выходной величины за пределами интервала времени и в пределе

Рис. 9.11. (см. скан) Процессы в системе, обладающей непрерывной импульсной переходной характеристикой; кривые показывают, что ошибки малы при достаточно малой длительности импульсов

2. обладает непрерывной импульсной характеристикой. В этом случае приближенное решение допустимо в интервалах времени т. е. в областях (III), (IV) и (I). Эти интервалы включают в себя и моменты Здесь для нахождения правильного приближенного решения приемлемы как метод -преобразования, так и метод модифицированного z-преобразования.

Из этих утверждений видно, что решения, полученные на основе приближенного изображения [уравнения (9.37) и (9.56)], не дают правильной аппроксимации для выходной величины системы в интервале в области независимо от степени и от метода, примененного для вычисления обратного преобразования. Таким образом, при применении -преобразования мы не узнаем истинного поведения системы на интервале Этот факт, однако, может иметь пренебрежимо малое влияние, если длительность импульса достаточно мала и передаточная функция обладает непрерывной импульсной характеристикой. В обоих этих случаях можно использовать метод -преобразования для нахождения точной реакции для любого момента времени.

Система, изображенная на рис. 9.11, обладает непрерывной импульсной характеристикой. Здесь же изображена выходная величина с при входном воздействии в виде скачка. Характер кривых показывает, что ошибки пренебрежимо малы при достаточно малой длительности импульсов

Рис. 9.12. Пример импульсной системы с конечным временем съема данных, обладающей разрывной импульсной характеристикой.

Система, изображенная. на рис. 9.12, обладает разрывной импульсной характеристикой. Выходная величина этой системы при входном воздействии вида единичного скачка и в предположении, что длительность импульсов и периоды их повторения имеют значения секунды и секунды, изображена на рис. 9.13. Кривая а соответствует точному процессу, вычисленному методом обратного -преобразования. Кривая представляет приближенный процесс, вычисленный из приближенного изображения. Сравнение этих двух кривых показывает, как велика может быть ошибка и в моменты и в интервале в тех случаях, когда аппроксимация неприемлема.

В указанном выше примере степень аппроксимации зависит от отношения длительности импульса к постоянным времени системы. Из выражений (9.43), (9.45) и (9.48) видно, что для системы, изображенной на рис. 9.12, с одной-единственной постоянной времени, на вход которой подается сигнал в виде единичного скачка, аппроксимация возникает вследствие применения выражения

Из этого уравнения может быть определена ошибка в процентах:

Из выражения (9.57) следует, что при входном воздействии вида скачка ошибка не зависит от периода повторения и времени

Рис. 9.13. (см. скан) Процесс в системе рис. 9.12 при входном воздействии вида скачка.

Для устойчивой системы (полюсы находятся в отрицательной половине плоскости имеем

Поэтому приближенное решение всегда будет меньше, чем действительные значения. На рис. 9.14 изображена зависимость ошибки системы с одной постоянной времени ко входу которой приложено воздействие вида скачка, от произведения Из графика

видно, что для обеспечения ошибки менее 5% произведение должно быть меньше или равно одной десятой. Для систем, у которых имеется больше чем одна постоянная времени, общая ошибка зависит от времени, как это видно из рис. 9.11.

Рис. 9.14. Ошибка (в процентах) как функция для системы с одной постоянной времени.

На рис. 9.12 изображена система с одной постоянной времени секундам. Выходная величина представлена на рис. 9.13 в предположении, что длительность импульса секунды, а период повторения секунды и входное воздействие имеет вид единичного скачка. В области приближенное решение дает значение выходной величины, меньшее действительного значения, и ошибка достигает почти 5%, что соответствует произведению