ПРИЛОЖЕНИЕ. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В главе II было показано, что модифицированное -преобразование выходной величины любой импульсной системы имеет вид

где вообще говоря, отношение двух полиномов от полином от переменная величина, изменяющаяся в пределах от нуля до единицы, а число зависит от числа различных непрерывных каналов передачи информации к выходу.

Таким образом, нетрудно видеть, что будучи комбинацией рациональных функций, входящих в выражение (1), может, вообще говоря, быть представлена в виде рациональной функции:

Необходимо отметить, что полином знаменателя не является функцией Отметим также, что на основании определения модифицированного -преобразования можно легко обнаружить, что порядок z полинома числителя должен быть по крайней мере на единицу ниже, чем порядок z полинома знаменателя (разность оказывается больше единицы, когда прямая цепь содержит чистое запаздывание, большее или, в большинстве случаев, когда входное воздействие системы равно нулю в первый момент съема).

При использовании -преобразования для анализа оказывается, что простым и удобным методом нахождения процесса в системе является разложение в ряд Лорана в окрестности начала координат (метод деления). Такое разложение в ряд может быть найдено простым делением полинома числителя на полином знаменателя (формула, приведенная ниже, дает более точный способ определения коэффициентов ряда, чем непосредственное деление).

Из условий физической осуществимости импульсная характеристика любой системы тождественно равна нулю при меньшем нуля. Таким образом, мы считаем, что процесс в системе начинается при Математически это выражается в применении одностороннего преобразования Лапласа, вследствие чего разложение в ряд Лорана содержит лишь основную часть и постоянный член. Таким образом, разложение имеет вид

где представляет собой значение выходной величины в момент времени (значения в момент съема), соответствующий

Когда в ряд Лорана разлагается то в разложении присутствует лишь основная часть ряда (это вытекает из предыдущего замечания о порядке полиномов функции). Для того чтобы при стремящемся к нулю, получить тот же ряд, что и полученный разложением (т. е. чтобы получить значения выходной величины в моменты времени выполняется разложение с последующей интерпретацией результатов. Таким образом, разложение в ряд имеет вид

где величины называются коэффициентами степенного ряда. Этот метод анализа известен как метод разложения в степенной ряд. Мы уже знаем, что определяет процесс в первом интервале, во втором интервале и т. д. Это значит, что индексы не соответствуют интервалам, которые описываются коэффициентами Другими словами, функция описывает интервал справа от моментов, соответствующих вместо того чтобы описывать интервал слева от моментов, соответствующих как можно было бы ожидать на основании соотношения

Если в прямой цепи имеется чистое запаздывание или входное воздействие в первый момент съема равно нулю, то оказывается удобным производить разложение где равно разности между порядками полиномов от z числителя и знаменателя. Тогда можно рассматривать как число интервалов, на которое запаздывает процесс от момента равного нулю; иными словами, описывает процесс в интервале и т. д.

Ниже описываются некоторые способы получения коэффициентов степенных рядов, выраженных через коэффициенты полиномов числителя и знаменателя выражения Как было установлено ранее, вообще говоря, определяется выражением

и, следовательно,

где порядок числителя равен порядку знаменателя. Это выражение, может быть записано в виде рациональной дроби от в которой свободный член знаменателя равен единице:

Это выражение должно быть равно разложению в ряд

Легко показать, что

Можно сразу же заметить, что рекуррентное соотношение, записанное предыдущими формулами, должно оказать существенную помощь в вычислении процесса. Однако это будет справедливо до тех пор, пока длительность процесса невелика. В противном случае численные ошибки, вызванные округлением и т. д., накапливаются и влекут за собой серьезные погрешности. Поэтому ниже приведены выражения для коэффициентов степенного ряда через коэффициенты числителя и знаменателя Опыт использования формул, записанных ниже, подтвердил, что они имеют практическую ценность, так как позволяют существенно экономить время при

определении процесса в системе на первых интервалах.

Для коэффициентов степенных рядов удобно также использовать следующие матричные обозначения:

Тогда можно записать

Таким образом, в соответствии с этим выражением коэффициент степенного ряда может быть найден с помощью матричного

умножения строки матрицы на матрицу-столбец Выражения для первых десяти коэффициентов имеют вид

(см. скан)

для может быть найдено с помощью формулы (16), приведенной ниже.

Таким образом, приведенные выше формулы и матричное представление сводят аналитическую задачу к вычислительной процедуре, которая может быть легко выполнена с помощью арифмометра.

Ниже приведено правило нахождения величин которые являются коэффициентами (выраженными через в слагаемых в выражениях для коэффициентов степенного ряда.

Как видно из формул образуется суммированием таких возможных комбинаций произведений с индексами от 1 до что сумма индексов в любой комбинации равна После приведения подобных членов знак каждого слагаемого, получившегося в результате приведения, определяется следующим образом: если в слагаемое входит нечетное число сомножителей, это слагаемое берется со знаком плюс; если сумма сомножителей, входящих в слагаемое, равна четному числу, то слагаемое берется со знаком минус.

Иначе это правило может быть сформулировано следующим образом:

где:

1) - целые числа

2) т. е. исключаются все двойные комбинации;

Выполнение этого равенства обеспечивается следующим образом:

Отметим, что максимальное число различных в каждом слагаемом, входящем в коэффициент, определяется величиной

Если то и при получим

Число слагаемых в этой последней сумме определяет максимальное число различных в каждом слагаемом, входящем в коэффициент.

Максимальное число различных определяет число индексов необходимых для описания процесса. Например, когда максимальное число равно трем; следовательно, процесс описывается только с индексами от а до с включительно.

(4) Знаки каждого слагаемого определяются следующими условиями:

если четному числу, то слагаемое входит со знаком минус;

если нечетному числу, то слагаемое входит со знаком плюс.

(5) А — функция, ставящая каждому слагаемому в соответствие его коэффициент. Величина А для каждого слагаемого определяется числом всех возможных различных сочетаний членов, входящих в это слагаемое.

А определяется выражением

где

- число различных в каждом слагаемом, показательная функция от тождественно равно нулю и

Пример. Найти

Ниже приведены некоторые указания по применению выведенных формул для вычисления процесса,

1. Составим таблицы значений для требуемых значений дает набор матриц, входящих в уравнение (12)).

2. Составим таблицу значений необходимых для нахождения процесса в требуемом интервале (дает матрицу уравнения (13)).

3. Если импульсная характеристика прямой цепи непрерывна, равняется йтой проверкой полезно пользоваться для определения численных ошибок в начале вычисления.

4. Аналогично, если импульсная характеристика непрерывна, то равенство оказывается полезным для проверки правильности решения.

Так как -преобразование выходной величины может быть непосредственно получено, если в выражении для стремить к нулю, то формулы коэффициентов степенных рядов полностью применимы для анализа с помощью метода -преобразования (процесс только в моменты съема).

Основными чертами и преимуществами метода разложения в степенные ряды и формул, приведенных выше, являются следующие:

1. Они обеспечивают простые и точные средства для получения полного процесса в системе в течение нескольких первых интервалов. (Метод особенно полезен, если известно, что система устойчива.)

2. Процесс в моменты съема может быть точно определен и без помощи деления (метод деления, используемый при анализе с помощью -преобразования).

3. Процесс на каждом интервале может быть определен независимо от процесса на предыдущем интервале. Более того, процесс на интервале, предшествующем тому, на котором процесс был рассчитан, может быть легко получен.

4. Уравнение (9) совместно с уравнением (14) может быть с успехом использовано для расширения области, в которой процесс может быть легко рассчитан, причем точность остается достаточно высокой.

5. Этот метод разложения в ряды приводит к описанию систем с помощью матриц перехода, что дает возможность определять характеристики линейных объектов при импульсных входных воздействиях в моменты съема, как имея представление о передаточных. функциях, так и не зная их. Для этого лишь необходимо иметь экспериментально снятую в точном временном масштабе импульсную характеристику, исследуя которую можно получить набор передаточных матриц.

6. Наконец, совершенно очевидно, что этот метод анализа может быть применен для синтеза импульсных систем или непрерывных систем регулирования с импульсной коррекцией, как показано в гл. V,

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)