3.5. Связь между частотным и корневым годографами

Частотный годограф любой импульсной системы регулирования представляет собой геометрическое место, на котором располагаются точки в плоскости когда z описывает окружность единичного радиуса. Этот годограф является конформным отображением всей окружности единичного радиуса, лежащей в плоскости на плоскость На рис. 3.1 изображена типовая импульсная система регулирования, частотные годографы которой для различных значений коэффициента усиления К имеют вид, аналогичный представленному на рис. 3.22.

Рис. 3.22. Типичный частотный годограф

Так как частотный годограф представляет собой конформное отображение окружности единичного радиуса, расположенной в плоскости то частотный годограф сам по себе не может дать значений полюсов в уравнении (3.1). Всякая попытка найти эти полюсы при помощи соответствия между плоскостями z и требует некоторого преобразования вдоль определенной кривой внутри круга единичного радиуса, где расположены требуемые полюсы. Для этого понятие частотного годографа можно обобщить с помощью подстановки

в передаточную функцию (Для устойчивой системы рассматриваемые значения z должны лежать внутри круга единичного радиуса.)

Используя как параметр, можно получить семейство годографов постоянных значений Обычным частотным годографом является годограф постоянного значения при равном единице. Если радиальные линии, проведенные из начала координат плоскости конформно отображать на плоскость то получается семейство годографов постоянных значений . С помощью этих двух семейств годографов может быть найдена криволинейная фигура, охватывающая точку ). Используя последовательные приближения значений можно найти полюсы уравнения (3.1) с любой требуемой степенью точности. Типичные семейства годографов постоянных значений и постоянных значений и их конформное отображение на плоскость показаны на рис. 3.23 и 3.24.

(кликните для просмотра скана)

Частотный годограф может быть получен из корневого годографа, если корни определены. Это можно легко сделать следующим образом. Пусть описывает окружность единичного радиуса. При этом нужно определять величину и фазу векторов, соединяющих корни и точку на единичной окружности. Таким образом, расположение нулей и полюсов дает возможность построить общую частотную характеристику импульсной системы регулирования.

На основании соответствия между плоскостями z и любая информация о системе, полученная из рассмотрения плоскости с помощью определенных преобразований может быть получена также из рассмотрения плоскости z.

Рис. 3.25. Частотные годографы в плоскости

Для того чтобы найти фактическую связь между частотной и переходной характеристиками, можно использовать тот факт, что годографы в плоскости дают информацию о частотной характеристике, а годографы в плоскости z дают информацию о переходной характеристике.

Заметим еще, что для системы второго порядка частотный годограф пересекает отрицательную действительную ось либо в одной, либо в двух различных точках, как показано на рис. 3.25, а, 3.25, б и 3.25, в.

Для малых значений частотный годограф обычно пересекает действительную ось в двух точках, когда корни расположены в правой половине круга единичного радиуса, как показано на рис. 3.12, а. Для больших значений годограф пересекает действительную ось только в одной точке, когда корень лежит в отрицательной половине круга единичного радиуса, как показано на рис. 3.12, в и 3.12, г.