2.14. Свойства модифицированного z-преобразования передаточной функции

Если имеет простые полюсы, то уравнение (2.26) может быть переписано следующим образом:

Из уравнения (2.155) очевидны следующие свойства.

1. периодична по 5 с мнимым периодом

2. Как видно из уравнения (2.155), принимает действительные значения при

3. Степень знаменателя выражения для равна степени 5 знаменателя выражения для

4. Полюсами в плоскости являются полюсы плюс бесконечное число полюсов, отстоящих друг от друга на в точках

5. Нуль выражения для в плоскости не фиксирован, а зависит от значения которое заключено между нулем и единицей.

Рис. 2.17. Замкнутая импульсная система к примеру.

6. Изменение значений полюсов вызывает изменение значений коэффициентов

так же как и членов

в выражении для

7. Добавление нулей в изменяет лишь коэффициенты

8. Добавление полюсов в увеличивает число слагаемых в выражении для Это значит, что становится больше и выражение для будет иметь больше слагаемых вида

Эти свойства аналогичны свойствам передаточной функции обладающей кратными полюсами или чистым запаздыванием.

Пример. Рассмотрим пример, иллюстрирующий некоторые математические особенности и выводы, полученные при обсуждении модифицированного -преобразования.

Предположим, что импульсная система имеет вид, изображенный на рис. 2.17.

Это — система второго порядка. В нее введено цифровое корректирующее устройство или импульсная цепь, передаточная функция которого имеет указанный вид.

Будут рассмотрены следующие вопросы: а) как найти действительную реакцию на входной сигнал в виде единичного скачка с помощью модифицированного -преобразования; б) как найти начальное и конечное значение, максимум выходной величины и время нарастания; в) как найти максимальный коэффициент усиления, при котором система становится неустойчивой; г) как найти процесс в моменты съема с помощью модифицированного z-преобразования.

1. Общая передаточная функция системы в форме модифицированного -преобразования может быть или получена из табл. 2.2, или выведена на основе правил алгебры модифицированного -преобразования, рассмотренных ранее. Модифицированное -преобразование выходной величины имеет вид

где

Таким образом, необходимо найти модифицированное -преобразование выражения Для получения функции может быть использована табл. 2.1 модифицированных -преобразований, так как модифицированное -преобразование выражения известно и равно Итак,

-преобразование выражения

можно получить либо из таблиц -преобразований, либо положив в формуле (2.166). Это дает

Далее, имеем

Модифицированное -преобразование выходной величины записывается в виде

Характеристическое уравнение представляет собой кубическое уравнение; его корни равны

Для получения действительного процесса применим сначала формулу обращения

где есть замкнутый контур в плоскости z, охватывающий особые точки подынтегрального выражения. Выражение для выходной величины может быть найдено из таблиц обратного -преобразования, так как при интегрировании является постоянной; равно сумме вычетов в особых точках подынтегрального выражения. Особые точки равны:

Выражение выходной величины находится путем суммирования вычетов. Оно имеет вид

Выходная величина изображена на рис. 2.18.

2. Начальное значение может быть найдено следующим образом:

Для конечного значения справедливо равенство

Чтобы найти максимум и время нарастания, определим вначале ятах. Так как с то

Таким образом,

Для нахождения решаем уравнение которое приближенно имеет вид

отсюда

Таким образом,

Подставляя это значение в выражение для с получаем

Для максимума

или

Рис. 2.18. Непрерывная выходная величина системы, изображенной на рис. 2.17.

Так как значение должно лежать между нулем и единицей, то для этого случая лтах должно быть равно 3. Таким образом,

или

Отсюда

Время нарастания определяется из следующего соотношения:

и максимум равен

3. Максимальный коэффициент усиления, при котором система еще устойчива, может быть определен из условий устойчивости, приведенных в гл. I, или, иным образом, из следующих соотношений:

или

Это дает значение для значений z, удовлетворяющих фазовым условиям

4. Процесс в моменты съема может быть получен, если положить в выражении Это приводит к следующему результату:

или, после упрощения,