4.14. Пример использования частотной характеристики

Для того чтобы проиллюстрировать различные методы построения частотной характеристики, разобранные в предыдущих параграфах, рассмотрим простую замкнутую импульсную систему второго порядка. В этой импульсной системе, изображенной на рис. 4.13, значения параметров принимаются равными указанным на рисунке.

Рис. 4.13. Иллюстрирующий пример.

Если использовать то, что импульсный элемент эквивалентен импульсному модулятору, то система, изображенная на рис. 4.13, может быть представлена в виде рис. 4.14.

Для иллюстрации различных возможностей, имеющихся в распоряжении проектировщика, будут рассмотрены следующие методы: а) частотный анализ в плоскости частотный анализ в плоскости частотный анализ в плоскости

а) Частотный анализ в плоскости для системы, изображенной на рис. 4.14, можно получить из выражения (4.44), если в нем положить Это дает

Условия устойчивости выполняются, если корни знаменателя уравнения расположены в левой половине плоскости Так как в этом

примере полюсы находятся в левой части плоскости или в начале координат, то для определения устойчивости с помощью годографа Найквиста можно применить специальную форму критерия Найквиста.

Рис. 4.14. Замкнутая импульсная система, эквивалентная изображенной на рис. 4.13.

Частотный годограф может быть получен заменой 5 на в выражении

Для значений соответствующих данному примеру, уравнение (4.70) может быть приближенно записано следующим образом:

или, более подробно,

Так а для этой системы то

Из уравнения (4.72) следует, что первый член правой части уравнения отличается от выражения для непрерывного частотного годографа наличием множителя у и выражением для частотной характеристики фиксирующей цепи первого порядка, а другие члены получаются графически из годографа, соответствующего первому члену, как показано на рис. 4.15.

Из этого рисунка видно, что годограф Найквиста в плоскости 5 не охватывает точки Заметим еще, что годограф периодичен вдоль действительной оси и симметричен относительно нее.

Рис. 4.15. (см. скан) Диаграмма Найквиста для уравнения (4.72); первый и второй члены правой части уравнения (4.72).

Таким образом, для построения годографа Найквиста оказывается достаточным знать значения со от нуля до Общая частотная и фазовая характеристики системы изображены на рис. 4.16а и 4.16б.

б) Частотный анализ в плоскости Другая форма записи z-преобразования выходной величины, выраженного через может быть легко получена из уравнения (4.69) в виде

(кликните для просмотра скана)

Так как форма этого уравнения смешанная (т. е. оно представляет собой рациональное выражение как от так и от 5), то анализ упрощается, если выходной сигнал сначала рассматривается в моменты съема.

Рис. 4.16б. (см. скан) Фазово-частотная характеристика системы, рассматриваемой в примере.

В этом случае -преобразование квантованной выходной величины определяется выражением

Устойчивость может быть исследована аналогичным образом с помощью вычерчивания годографа Найквиста в плоскости при изменении 5 вдоль оси Как было выяснено в гл. I, в плоскости Такому изменению 5 соответствует окружность единичного радиуса. Следовательно, годограф Найквиста в плоскости может быть легко получен. Мы не будем заниматься здесь дальнейшей

разработкой этого метода, так как он подробно рассмотрен в гл. VI. Для системы рассмотренной в примере годограф Найквиста изображен на рис. 4.17. Этот рисунок позволяет осуществить проверку точности приближений, сделанных при исследовании системы методом

Рис. 4.17. (см. скан) Диаграмма Найквиста для в рассматриваемом примере.

Для более детального изучения общего поведения системы можно воспользоваться модифицированным -преобразованием уравнения (4.73), имеющим вид

Общая частотная характеристика, соответствующая непрерывному выходному сигналу, может быть исследована с помощью изменения от нуля до единицы. В данном случае этот метод используется

для оценки поведения системы между моментами съема. На рис. 4.18 и 4.19 изображены частотные характеристики для различных значений

Рис. 4.18. Диаграмма Найквиста для при различных значениях

в) Частотный анализ в плоскости w. Если в уравнение (4.74) подставить преобразование то преобразование для выходного сигнала становится рациональной функцией от

В случае частотной характеристики принимает значение своей псевдочастоты При этом уравнение (4.76) принимает вид

Это уравнение представляет собой рациональную функцию безразмерной частоты Следовательно, для построения амплитудной

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

и фазовой характеристик можно воспользоваться диаграммой Боде, как показано на рис. 4.20а и 4.20б. Эта частотная характеристика может быть построена в области частоты если воспользоваться следующим соотношением:

Окончательный вид характеристики как функции представлен на рис. 4.17, где она сопоставляется с характеристиками, полученными методами и