8.8. Метод z-преобразования для решения разностных уравнений

В предыдущем разделе было показано, что -преобразование может быть применено для приближенного анализа непрерывных систем. Математически это означает, что -преобразование может быть применено для решения линейных разностных уравнений, которые представляют собой приближение дифференциальных уравнений, описывающих непрерывную систему. Операция приближения была непосредственно перенесена из -области в z-область. При этом не требовалось составлять приближенных разностных уравнений. В настоящем разделе будет показано, как непосредственно применить -преобразование для решения линейных разностных уравнений с постоянными или периодическими коэффициентами. Кроме того, показывается, что импульсная система может быть описана разностными уравнениями, к которым применим метод -преобразования для нахождения процесса в ней.

Приемы преобразования для решения разностных уравнений не новы. Гарднер и Берне применяли для этой цели ступенчатые функции и преобразование Лапласа. Форт использовал для этой же цели преобразование в виде ряда Дирихле, в то время как Нойфельд решает линейные разностно-дифференциальные уравнения методом преобразования Лапласа. Стоун использует обобщенное

преобразование Лапласа, а Браун рассмотрел теоретические обоснования метода, предложенного Тастином для решения линейных дифференциальных уравнений. Таким образом, применение операторов и метода преобразования для решения разностных уравнений не ново; метод -преобразования может рассматриваться как дальнейшее развитие этих же идей.