6.4. Общее соотношение между временной и частотной характеристиками импульсных систем второго порядка

Допустим, что для системы, показанной на рис. 6.8, имеющей жесткую обратную связь, передаточная функция задана в виде

где частота собственных колебаний системы второго порядка при отсутствии затухания, коэффициент затухания той же самой системы.

Пользуясь табл. 1.1, находим z-преобразование передаточной функции системы в виде

где

Заметим, что представляют собой постоянные коэффициенты, зависящие от или от

Рис. 6.8. Замкнутая импульсная система второго порядка.

Для получения частотной характеристики предположим, что z описывает единичную окружность; тогда

где изменяется от до

Подставляя это значение z в выражение (6.21), получаем амплитуду частотной характеристики в виде

Дифференцируя уравнение (6.28) по находим угол сртах, при котором принимает максимальное значение:

Если выражение (6.29) подставить в (6.28), то можно видеть, что Жщах является функцией от или, другими словами, зависит от

После того как получено условие для Мтах, нетрудно получить временную характеристику при скачкообразном воздействии на входе этой же системы. Модифицированное z-преобразование может быть получено на основании уравнения (2.43) в следующем виде:

или

где

Выходная величина равна

где представляет собой контур интегрирования в z-плоскости, который охватывает все особые точки подынтегрального выражения в (6.33). Выходная величина может принимать один из двух видов в зависимости от того, имеет ли характеристическое уравнение действительные или мнимые корни. В случае действительных корней нетрудно показать, что непрерывная выходная величина определяется выражением

где

В случае комплексных корней выражение для непрерывной выходной величины принимает вид

где

Для обоих случаев может быть определено максимальное значение, как было показано в гл. III. Можно видеть, что суммарный процесс, или перерегулирование, также представляет собой функцию

Таблица 6.1. (см. скан) Соотношения между и

Таким образом, установлена простая взаимосвязь между максимумом частотной характеристики и максимумом временной характеристики. Табл. 6.1 представляет эту взаимосвязь для различных значений Она представлена графически на рис. 6.9 для непрерывной и импульсной систем, содержащих чисто интегрирующий объект

На рис. 6.10 показана зависимость максимального значения перерегулирования от для различных значений а на рис. 6.11 показана зависимость времени нарастания от при тех же значениях

Для построения линии постоянной амплитуды и постоянной фазы необходимо представить в виде

Постоянная амплитуда получается при удовлетворении следующего условия:

Уравнение (6.39) представляет собой семейство окружностей в -плоскости, центры и радиусы которых определяются из следующих выражений:

Для получения уравнения линий постоянной фазы необходимо в выражение

подставить

и тогда (6.41) принимает вид

Линии постоянных изображены на рис. 6.12.

Тот же самый метод видоизменения характеристики может быть использован для видоизменения или обратного годографа. Использование годографа часто упрощает задачу при стабилизации определенных видов импульсных систем регулирования или систем, в которых используются цифровые вычислительные машины.

Линии постоянных амплитуд и постоянных фаз в плоскости обратной частотной характеристики легко выводятся тем же методом,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Нетрудно видеть, что линии постоянных имеют следующее уравнение:

Рис. 6.13. Контуры постоянных амплитуд и фаз в -плоскости.

Уравнение (6.44) представляет собой семейство окружностей, координаты центров и радиусы которых равны:

Подобно этому уравнения кривых постоянной фазы имеют вид

Уравнение (6.46) представляет собой семейство радиальных линий (рис. 6.13), исходящих из центра окружностей постоянных

Пример. Для пояснения способа синтеза, основанного на предыдущем материале, проанализируем импульсную систему, изображенную на рис. 6.14, и произведем ее синтез в соответствии со следующими положениями:

1. Определить значение коэффициента усиления К при когда

2. Определить для -резонансный угол).

3. Определить значения которые обеспечивают резонансный угол для того же значения Мтах.

4. Сравнить выходной сигнал при скачке на входе в скорректированной и нескорректированной системах.

Рис. 6.14. Замкнутая импульсная система для рассматриваемого примера.

Решение. 1. Для определения требуемого значения коэффициента усиления К находим из таблицы

Для значения имеем

Диаграмма Найквиста может быть построена при . Для окружности из уравнений (6.39) и (6.40) находим радиус и центр:

Определяя несколько точек диаграммы и расстояние до окружности Мгаах, находим, что коэффициент усиления должен иметь значение

Годограф при таком коэффициенте усиления изображен на рис. 6.15. Из нового годографа находим, что

2. Импульсная передаточная функция для любого значения может быть найдена определением -преобразования включая корректирующую цепь. Это дает

Так как период повторения задан, сек, уравнение (6.52) может быть записано в виде

где

Прежде чем переходить к выбору нужных значений отметим следующее.

Выражение (6.53) для состоит из трех векторов, которые принимают определенные модули и фазы по мере того, как z описывает единичную окружность.

Рис. 6.15. Диаграмма Найквиста для нескорректированной системы при

Для некоторого заданного значения z в уравнении (6.53) фазовый угол задан, ко значения величин векторов изменяются. Поэтому влияют только на величину вектора, но не на фазу. Изменение фазового угла выражения по мере изменения z показано на рис. 6.16. Обратный вектор имеет ту же фазу, но с отрицательным знаком. Для удовлетворения требований должно быть направлено касательно к

окружности при когда z имеет угол в 75°, соответствующий точке на рис. 6.16.

3. Из рис. 6.15 видно, что точку соприкосновения с целесообразно выбрать в интервале между При выборе любой точки выше, чем или ниже, чем В, годограф пересечет окружность с индексом до или после точки касания. Поэтому выбираем точку при которой годограф скорректированной системы должен касаться окружности Мтах

На рис. 6.17 изображены точка касания годографа а также кривая равных амплитудных значений в точке После нескольких попыток обнаруживается, что одно из слагаемых должно быть отрицательным, чтобы сумма всех векторов при заканчивалась в точке

Рис. 6.16. Годограф выражения при различных значениях z.

Для получения корректирующего устройства, имеющего полюс на положительной действительной оси, в качестье отрицательного слагаемого выбирается третье слагаемое уравнения (6.53).

В целях получения приемлемого диапазона для значения вектора из рис. 6.17 выбирают значения, лежащие между при Выбирая сначала вектор можем записать следующее векторное уравнение:

Зная можно вычислить и аналогично мы можем получить значение для второго значения вектора как изображено на рис. 6.17. "Из того же рисунка следует, что третий вектор, который требуется вычислить (либо вектор либо, должен иметь фазу, примерно равную — Из рис. 6.16 видно, нолюс в точке дает сдвиг фазы —105° при примерно являющийся средним арифметическим между этими двумя предельными значениями. Поэтому можно выбрать

полюс для передаточной функции корректирующего устройства в точке таким образом, согласно уравнению (6.53) приобретет вид

Из уравнений (6.53) и (6.54) следует, что

Таким образом, уравнение (6.56) приобретает вид

4. Для определения второго параметра мы можем фиксировать значение при некотором значении z, которое удобно принять равным

Рис. 6.17. Графический способ синтеза параметра непрерывного корректирующего устройства.

При этом уравнение (6.58) принимает следующий вид

Для того чтобы годограф не пересекал окружность Мшах, необходимо, чтобы его начало лежало достаточно близко к началу координат на отрица тельной действительной оси. Исходный годограф начинается в точке —0,04.

В этом случае выберем точку —0,16. Подставляя это значение в уравнение (6.59), получим для следующее значение:

Окончательное выражение для годографа принимает вид

Соответствующий годограф изображен на рис. 6.18, из которого видно, что кривая соприкасается с окружностью Мтах в точке при что очень близко к предъявленным требованиям. Если предпринять еще несколько попыток, то можно привести касание в точку Однако для данного примера этого не требуется.

Рис. 6.18. Скорректированный годограф касается в точке

5. Определяется модифицированное z-преобразование выходной величины как для скорректированной, так и для исходной системы. Переходные процессы приведены на рис. 6.19. Из этого рисунка видно, что, как и следовало ожидать, время нарастания существенно улучшается, а значения неререгулирорания примерно одинаковы ввиду одинаковых требований к

Из этого примера видно, что изложенный выше метод представляет собой прямой метйд определения параметров одной корректирующей цепи. Однако его можно применить и для коррекции больше чем одной цепи.

Рис. 6.19. Реакция скорректированной и нескорректированной систем при скачке на входе.

Метод проб и ошибок в этом случае будет более громоздким из-за увеличивающегося числа требуемых проб. Поэтому целесообразно прибегать к аппроксимации, которая будет рассмотрена в следующих разделах.