ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX

В этом приложении рассмотренные ранее приемы мы применим к определенным системам.

Общий вид передаточной функции второго порядка может быть представлен так:

где предполагается, что Если то можно воспользоваться тем же приемом, за исключением того, что значения вычетов будут другие. Рассмотрим импульсную систему с квантованием ошибки (рис. 9.27). Эта система обладает периодическим импульсным элементом с периодом повторения и длительностью импульса Устойчивость системы не зависит от выходной величины. Рассмотрим случай входного воздействия вида скачка амплитуды Тогда

и

где полюсы выражения которые могут быть комплексные. Из соотношения 1 табл. I (стр. 394) видно, что

Следовательно, изображение выходной величины на интервале может быть найдено из выражения (9.197) в виде

Согласно соотношению 3 табл. II (стр. 396) получим

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Правая часть уравнения (8) может быть приведена к общему знаменателю, и тогда это уравнение перепишется в виде

где

Приравнивая правые части уравнений (7) и (10), получим следующие разностные уравнения:

Постоянные коэффициенты и называются характеристическими коэффициентами. Ясно, что они не зависят от входного воздействия. Они зависят от передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем, а также от параметров импульсного элемента. Коэффициенты называются входными. Они зависят от вида входного воздействия и от параметров системы. Переходя в уравнениях (12) к -преобразованию, получим

Характеристическое уравнение имеет вид

где

Выражения для и могут быть представлены в виде

и

Обратное -преобразование от выражений (16) и (17) определяет функции Заметим, что в этих выражениях является множителем, что указывает на прямую пропорциональную зависимость между амплитудами входного воздействия и выходной величины. Непрерывный процесс можно найти следующим образом. Составляющая выходной величины действительная на интервале согласно (9.199) может быть записана в виде

Оригинал этого выражения есть непрерывная выходная величина на интервалах т. е. на промежутках времени, когда импульсный элемент замкнут. Оригинал может быть определен, так как известны Вторая составляющая выходной величины, действительная на интервалах может быть найдена из выражений (8) и имеет вид

где коэффициенты уже известны, так как определяются выражениями (9). Оригинал выражения (19) представляет собой непрерывный процесс на промежутках времени, когда импульсный элемент разомкнут. Обращаем внимание на сходство этого уравнения с (9.201). Оригиналы выражений (18) и (19) должны давать одинаковые

численные результаты для момента времени Это является следствием того, что выражение предполагается непрерывным при входном воздействии вида скачка. Упрощение, получаемое в результате разделения выражения на составляющие и очевидно из уравнений (18) и (19). Ясно, что вычисление выходной величины производится просто, так как уже известны все коэффициенты

Устойчивость системы определяется значениями корней характеристического уравнения. Пусть

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы и были расположены внутри круга единичного радиуса. Удобно преобразовать круг единичного радиуса в мнимую ось -плоскости посредством следующего билинейного преобразования:

При этом преобразовании часть плоскости, расположенная внутри круга, преобразуется в левую половину -плоскости. Следовательно, для того чтобы система была стабильной, все корни должны преобразоваться на эту половину -плоскости. К преобразованному уравнению можно применить критерий Рута для нахождения условий устойчивости, выраженных через коэффициенты В. В рассматриваемом случае после преобразования принимает вид

При этом условия устойчивости выражаются так:

Таким образом, имея заданную систему второго порядка, по уравнениям (9), (11) и (15) можно вычислить коэффициенты В. Устойчивость системы определяют подстановкой этих коэффициентов в неравенства (23), минуя расчет переходного процесса.

Вывод уравнений для систем третьего и более высоких порядков может быть выполнен тем же способом. Достаточно вывести эти уравнения один раз в общем виде, чтобы иметь возможность многократно их использовать для исследования устойчивости и нахождения процесса в любой конкретной системе.

Пример. До сих пор анализ проводился в общем виде. Применим теперь этот метод к решению определенной задачи, чтобы показать некоторые его особенности. Рассмотрим систему, показанную на рис. 9.27. Пусть

и

Тогда

где

и

Уравнения этой системы могут быть получены подстановкой нижеследующих значений параметров в уравнения, приведенные выше в этом приложении:

Изображение выходной величины для интервала времени находим из выражения (18). Оно имеет вид

Подобным же образом изображение выходной величины при может быть найдено из выражения (19):

где коэффициенты определяются выражениями (9). Для составления выражений и могут быть применены соотношения (16) и (17), на основании которых получим

и

где коэффициенты и определяются выражениями (11), а представляют собой корни следующего характеристического уравнения:

Для рассматриваемого примера

Здесь величина определяется выражением (27). Ясно, что при представляет собой мнимую величину. В этом случае гиперболические косинус и синус в соответствующих состарляющих выражения (34) заменяются на простой косинус и соответственно. Для случая непрерывной системы, имеет место

Если действительная величина и то

и

Следовательно,

и условия устойчивости запишутся так:

Эти условия удовлетворяются при всех значениях Подобным же образом в случае мнимого значения (3 параметр принимает вид

Подстановка этого значения в уравнения (9.218) показывает, что условия устойчивости опять удовлетворяются при всех значениях Это означает, что эквивалентная непрерывная система всегда устойчива, если только Этот результат хорошо известен из теории непрерывных следящих систем. Подобные же методы могут быть применены для определения условий устойчивости при уменьшении длительности импульса, т. е. при и при замене коэффициента усиления К на Эти условия совпадают с условиями, определяемыми непосредственно из эквивалентной импульсной системы.

Рис. 9.35. Процессы в системе второго порядка при входном воздействии в виде скачка при различных значениях длительности импульса

Рис. 9.36. Процессы в системе второго порядка при входном воздействии в виде скачка для случая, когда коэффициент усиления и полюсы замкнутой системы комплексны.

Результаты вычислений значений характеристических коэффициентов а также корней характеристического уравнения для различных значений, длительности импульса и следующих значений параметров:

— приведены в таблице

Таблица III (см. скан)

Значения характеристических коэффициентов и корней характеристического уравнения в системе второго порядка при различных значениях

На рис. 9.35 изображены непрерывные процессы в системе при входном воздействии вида единичного скачка и при различных значениях длительности импульса На рис. 9.36 изображен измененный процесс, получаемый в той же системе при значении коэффициента усиления увеличенном с 6 до 15,25. При этом корни становятся комплексными. Следует заметить, что при длительности импульса секунды, система обладает временем нарастания процесса, одинаковым с временем нарастания в непрерывной системе, но при этом отсутствует перерегулирование. На рис. 9.37 и 9.38 изображены процессы в системе, обладающей параметрами (41), при линейно нарастающем и синусоидальном входном воздействиях соответственно. Видно, что во всех случаях по мере приближения длительности импульса к периоду повторения процесс приближается к процессу, получаемому на основе преобразования Лапласа для эквивалентной непрерывной системы. На рис. 9.39 изображены годографы корней при изменении длительности импульса Произведение значений этих корней представляет собой постоянную величину, не зависящую от как это требуется в соответствии с уравнениями (33) и (34). На рис. 9.38 изображен установившийся процесс при синусоидальном входном воздействии. Этот процесс

Рис. 9.37. Процессы в системе второго порядка при линейно нарастающем входном воздействии при различных значениях длительности импульса

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

представляет собой искаженную синусоиду, за исключением случая Однако аналитически можно показать, что установившаяся выходная величина для всех моментов времени, отстоящих друг от друга на целое число периодов повторения, лежит на синусоиде определенной амплитуды и фазы, которая обладает той же частотой, что и входное синусоидальное воздействие. Это изображено графически на рис. 9.40 для моментов времени при Относительная фаза и амплитуда этой синусоиды отличаются для моментов времени, отстоящих друг от друга не на целое число периодов повторения. Они также изменяются при изменении значений длительности импульса

Часть графика границы устойчивости в безразмерных координатах для рассматриваемой системы второго порядка изображена на рис. 9.41. Эти кривые выражены через безразмерные величины Они построены на основании выражений (34) в соответствии с условиями (23).