8.10. Решение разностных уравнений, коэффициенты которых являются периодическими функциями

В начале этой главы и в предыдущих главах было показано, как применить метод модифицированного -преобразования для нахождения процесса. Процесс в импульсной системе может быть описан разностным уравнением, коэффициенты которого являются периодическими функциями. Рассмотрим теперь применение модифицированного -преобразования для решения таких уравнений.

Рассмотрим следующий вид разностного уравнения:

где представляют собой произвольные периодические функции независимого переменного периоды которых равны единице; представляют собой известные функции но определены только при где целое число, равное или большее нуля. Пусть представляют импульсы, появляющиеся в моменты Вследствие периодичности мы можем заменить функциями где представляет собой параметр, изменяющийся от нуля до единицы. Эта замена переменного равносильна смещению начала отсчета времени, которое становится равным и уравнение (8.41) принимает вид

Подвергая обе части уравнения (8.42) модифицированному z-преобразованию, получим

где и неизвестные функции. Однако нетрудно найти, воспользовавшись равенством Подставляя в уравнение получаем разностное уравнение с постоянными коэффициентами, из которого может быть определено методом, описанным в предыдущем разделе. Это выражение для может быть подставлено в уравнение (8.43), которое после этого решается относительно Следуя этому методу, получаем

Таким образом, определяется контурным интегралом, в котором величину при интегрировании следует рассматривать как постоянный параметр:

Обратное преобразование нетрудно найти с помощью таблиц, помещенных в гл. I, или применяя разложение в степенной ряд:

Коэффициенты при представляют собой значения в интервалах времени , если изменять от до 1. Преимущество метода разложения в степенной ряд состоит в том, что для получения решения нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения. Требования устойчивости для рассматриваемого вида уравнений с переменными коэффициентами такие же, как для уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 1. Для иллюстрации этих методов рассмотрим замкнутую импульсную систему второго порядка, изображенную на рис. 8.11. Выходную величину этой системы найдем с помощью разностных уравнений. Дифференциальное уравнение, связывающее выходную величину системы с с выходной величиной фиксирующего устройства нулевого порядка может

быть записано в следующем виде:

Заметим, что выходная величина фиксирующего устройства постоянна, за исключением мгновенных изменений, которые происходят в моменты съема.

Рис. 8.11. Замкнутая импульсная система второго порядка.

Если проинтегрировать уравнение (8.47) один раз и применить его в интервале, начинающемся с момента то мы получим

но

и, следовательно, уравнение (8.48) принимает вид

Решение этого уравнения, которое может быть представлено следующим образом:

имеет вид

Заметим, что и, таким образом,

Это уравнение подобно уравнению (8.42). Применяя к нему модифицированное -преобразование, получим

Можно найти процесс в моменты съема, если подставить значение в уравнение (8.53); в этом случае получим

Производя -преобразование этого разностного уравнения, получим

или

Подставляя значение в уравнение (8.54), найдем модифицированное -преобразование передаточной функции а именно:

Второе уравнение, которое связывает выходную и входную величины, имеет вид

Производя -преобразование обеих частей этого уравнения, иолучим

Из уравнений (8.57) и (8.60) или (8.54) находим -преобразование или модифицированное -преобразование выходной величины системы в виде

где

Из уравнения (8.61) выходная величина может быть получена при помощи обратного модифицированного -преобразования или метода разложения в степенной ряд, как это было пояснено в гл. И.

Пример 2. В этом примере метод -преобразования применяется для определения передаточной функции магнитного усилителя.

Рис. 8.12. Схема магнитного усилителя.

При определенных условиях динамика типового магнитного усилителя, изображенною на рис. 8.12, описывается следующим линейным разностным уравнением первого порядка:

где представляют собой средние за половину цикла значения управляющего напряжения и напряжения на выходе в полуциклах соответственно. Постоянные коэффициенты и представляют собой функции питающих напряжений, намагничивающих токов и параметров схемы.

Применяя -преобразование к уравнению (8.62), получим

или

Если предположить, что магнитный усилитель первоначально находится в установившемся состоянии и отсутствует управляющее напряжение, т. е. при то начальные условия находятся подстановкой

в уравнение (8.62), а именно:

Подставляя значения, полученные из уравнения (8.65), а также напряжения на выходе в уравнение (8.62), получим

Передаточная функция по каналу усиления имеет вид

Уравнение (8.66) соответствует блок-схеме, приведенной на рис. 8.13.

Применение двух теорем метода -преобразования к уравнению (8.67) позволяет сделать следующие выводы:

1. Условия устойчивости:

2. На основании теоремы о конечном значении определяем коэффициент усиления в установившемся состоянии:

Здесь необходимо отметить, что рассматриваемый в этом примере магнитный усилитель не является импульсной системой, но, применяя понятие импульсных функций, этот усилитель можно рассматривать как импульсную систему, если правильно интерпретировать полученные результаты.

Рис. 8.13. Структурная схема магнитного усилителя.

В системе непрерывного автоматического регулирования, в которой магнитный усилитель применяется в качестве корректирующего элемента (или в качестве схемы, обеспечивающей модуляцию ширины импульсов), его передаточная функция, выраженная через z, не может быть непосредственно использована, так как ни входная, ни выходная величины не являются истинными импульсными воздействиями. Однако если элементы системы, предшествующие и следующие за магнитным усилителем, представляют собой фильтры низкой частоты относительно частоты питающих напряжений, то метод -преобразования (а также его модификация) может быть распространен на всю систему, в которой магнитный усилитель включен в качестве корректирующего устройства.

Пример 3. Применение теории импульсных систем для решения задач бухгалтерского учета. В этом примере метод -преобразования применен для решения экономической задачи, часто встречающейся в промышленности. Требуется найти такой критерий для

«правила повторного заказа», чтобы свести к минимуму стоимость операции. Операции должны удовлетворять следующим условиям:

1. Периодически через заданные интервалы времени производится инвентаризация наличия материалов и собираются данные о состоянии запасов.

2. «Время опережения» задано. Время опережения определяется как промежуток времени между выдачей заказа на пополнение запасов и поступлением заказа на место (склад). Для удобства время опережения измеряется в интервалах повторения.

3. Заказы на отправку со склада (т. е. наряды на выполнение заказов потребителей) выполняются немедленно.

При этих условиях разностное уравнение, которое описывает отклонения учета от некоторого постоянного значения, имеет вид

где с — отклонения учета от заданного значения в конце периода; величина повторного заказа, т. е. заказа, предназначенного для пополнения наличия на складе; накопленные заказы потребителя, полученные в течение периода; время опережения.

Для того чтобы закончить описание автоматически управляемой системы учета, необходимо добавить к уравнению (8.69) правило, определяющее количество, которое требуется заказать. Очевидно, количество, требуемое для повторного заказа, зависит как от предшествующих заказов потребителей, так и от результатов предшествующих инвентаризаций. В рассматриваемом примере в качестве правила повторного заказа принята линейная комбинация результатов предшествующих заказов потребителей и предшествующих инвентаризаций. Таким образом, в рассматриваемом анализе общее правило повторного заказа имеет вид

где представляют собой последовательности коэффициентов, которые выбираются для удовлетворения любой частной системы.

Целью настоящего рассмотрения является нахождение того частного набора значений коэффициентов последовательности, который обеспечивает наиболее выгодное специфическое правило для повторных заказов.

Система уравнений (8.69) и (8.70) соответствует некоторой системе с обратной связью. В этом нетрудно убедиться, так как величину, обозначенную через 0, можно рассматривать как управляющую входную функцию, а результат инвентаризации с — как выходную величину или количество, которое требуется регулировать.

Производя -преобразование уравнений (8.69) и получаем

где и представляют собой -преобразование последовательностей соответственно. Исключая в из этих уравнений, получаем

Импульсная система, которая соответствует уравнениям (8.71) и (8.72), изображена на рис. 8.14. Производя упрощение блок-схемы рис. 8.14 и ее преобразование, получаем эквивалентную схему, изображенную на рис. 8.15. Отмстим, что это преобразование блок-схемы эквивалентно введению новой переменной — в данном случае вместо прежней переменной

Рис. 8.14. Импульсная система, соответствующая уравнениям (8.71) и (8.72).

Из преобразованной блок-схемы замкнутой импульсной системы видно, что задача сведения к минимуму отклонений бухгалтерского учета четко расчленяется на две части: а) нахождение такого выражения которое обеспечивает наилучшее предсказание заказов потребителя, и б) нахождение такого выражения для которое обеспечивает сведение к минимуму отклонений инвентаризации, возникающих в результате ошибок предсказания.

Выбор выражения для зависит от статистической природы поступления заказов от потребителя; вследствие этого не существует однозначного выражения для

Рис. 8.15. Эквивалентная структурная схема импульсной системы рис. 8.14.

С другой стороны, выражение для однозначно выбирается для всех систем учета с повторными заказами, причем оно не зависит от специфических свойств случайного характера поступления заказов от потребителя. Отклонение бухгалтерского учета сводится к минимуму выбором такого выражения которое обеспечивает процесс конечной длительности или минимальный переходный процесс. Выполнение этого условия требует, чтобы все корни характеристического уравнения находились в начале координат z-плоскости. Другое требование, вытекающее из условий процесса конечной длительности, рассматривалось в гл. V. Таким образом, все полюсы выражения (8.73) для выходной величины будут в начале

z-плоскости, если удовлетворяется следующее условие:

Из рис. 8.15 можно заметить, что при таком выборе выражения для мы получим

Из уравнения (8.73) находим

Для простоты условимся относительно следующих обозначений:

и

Также отметим, что

и

Из уравнений (8.76), (8.77), (8.78) и (8.80) приравниванием коэффициентов можно вывести следующие соотношения:

где значения с представляют собой изменения результатов инвентаризации относительно предопределенного уровня (в конце периода). Так как мы желаем, чтобы коэффициенты равнялись нулю для всех значений то величины нужно выбирать как предсказания общего числа заказов потребителей за период т. е.

где предсказание общего числа заказов потребителей в течение периодов от до к включительно. Таким образом,

Для определения правила повторных заказов необходимо подставить выражение (8.74) в выражение (8.72) для что даст

Подставляя в приведенное выше уравнение вместо выражения его значение из уравнения (8.77) и используя уравнение (8.79), получим окончательное уравнение для z-преобразования правила повторного заказа в виде

Соответствующее разностное уравнение получается с учетом уравнения (8.83) в виде

где предсказание общего числа заказов потребителей в течение периодов от до включительно. Это накопленное предсказание выполняется в течение периода и представляет собой функции от величины