1.7. Многократные системы с различными периодами повторения

Многократные системы состоят из двух или более импульсных элементов с различными периодами квантования, включенных в систему регулирования. Вообще говоря, периоды повторения импульсных элементов не кратны друг другу.

Рис. 1.23. Система с двумя импульсными элементами.

Однако существуют такие цифровые регулирующие устройства, в которых скорости квантования информации по времени на выходе и на входе кратны. Они представляют собой многократные регулирующие устройства, т. е. устройства с несколькими импульсными элементами, имеющими кратные периоды повторения, и могут быть легко исследованы с общих позиций, рассмотренных в этом параграфе.

На рис. 1.23 изображена система с двумя импульсными элементами. Несмотря на то что далее рассматривается система, содержащая только два импульсных элемента, этот подход может быть распространен на систему общего вида с несколькими импульсными элементами.

Пусть период не кратен но существуют два таких целых числа для которых справедливо равенство

где целые положительные числа.

Очевидно, что такие целые числа, удовлетворяющие уравнению (1.59), всегда могут быть найдены с любой требуемой степенью точности.

Из рис. 1.23 видно, что может быть выражено следующим образом:

Так как представляющая собой -преобразование входной величины относительно периода есть рациональная функция от то слагаемые, входящие в имеют вид

где А есть постоянная величина, корень аналогично тому, как было показано в уравнении (1.19). Поэтому уравнение (1.60) может быть переписано в виде

или, иначе,

Подставляя уравнение (1.59) в уравнение (1.63), можно выразить изображение выходной величины через

Уравнение (1.64) может быть преобразовано следующим образом:

что может быть также записано в виде

Выходная величина второго импульсного элемента соответствует -преобразованию уравнения (1.66) относительно периода Таким образом,

и изображение выходной величины равно

Соответствующее -преобразование записывается в виде

где есть -преобразование относительно периода

Этот подход легко может быть обобщен на случай нескольких импульсных элементов. Например, если выходная величина системы, изображенной на рис. 1.23, квантуется по времени с периодом то ее изображение можно выразить через так как всегда можно выразить отношение следующим образом:

где положительные целые числа.