5.3. Рассмотрение методики дискретной коррекции

Назначением коррекции является введение в систему регулирования элементов, необходимых для обеспечения удовлетворительного процесса регулирования. Задача определения элементов коррекции импульсных систем представляет особый интерес. Выбор элементов в этой главе будет ограничен дискретными корректирующими и фиксирующими устройствами нулевого порядка.

Рис. 5.1. Замкнутая система с квантованием сигнала ошибки.

В соответствии с этим рассмотрим методику дискретной коррекции и приведем примеры определения передаточной функции дискретных корректирующих устройств, которые могут удовлетворить разнообразным требованиям, предъявляемым к характеристикам системы.

Для того чтобы рассмотреть предлагаемый способ коррекции, ограничим рассуждения определенным типом структуры импульсной системы. Рассмотрим структуру импульсной системы, указанную на рис. 5.1, в которой на вход импульсного элемента подается сигнал

ошибки. Предполагается, что фиксирующее устройство нулевого порядка включено в объект. Распространение полученных ниже результатов на другие структуры импульсных систем не представит затруднений.

На рис. 5.2 представлена импульсная система с квантованием сигнала ошибки и дискретным корректирующим устройством, передаточная функция которого обозначена через

Рис. 5.2. Система с квантованием сигнала ошибки (рис. 5.1) с добавлением элемента дискретной коррекции.

В этой системе изображение дискретного воздействия на входе объекта определяется передаточной функцией корректирующего устройства и изображением квантованной ошибки Оно имеет вид

Непосредственно на вход объекта регулирования это дискретное возмущающее воздействие поступает в виде ступенчатой функции, так как объекту предшествует фиксирующее устройство нулевого порядка.

Как видно из уравнения (5.1), значения этого возмущающего воздействия могут изменяться только в моменты съема и их закон определяется выбором передаточной функции

Сложность и форма определяются числом слагаемых выражения выходной последовательности, которые могут быть независимо заданы для любой последовательности ошибок на входе. Следует также заметить, что дискретное корректирующее устройство может представлять собой устройство с внутренней обратной связью, и, таким образом, на его выходе в установившемся режиме может существовать сигнал при отсутствии сигнала на входе. Тот факт, что возмущающее воздействие, приложенное к объекту, можно регулировать с помощью дискретного корректирующего устройства, подсказывает нижеследующий подход к задаче синтеза.

Применяя модифицированное -преобразование, получаем следующее выражение для сигнала на выходе системы, изображенной на рис. 5.2:

где

и

Используя матричные обозначения, можно показать, что непрерывный выходной сигнал имеет вид (см. приложение в конце главы)

где непрерывная передаточная матрица объекта и фиксирующего устройства нулевого порядка, дискретная передаточная матрица объекта и фиксирующего устройства, передаточная матрица дискретного корректирующего устройства, матрица-столбец для входного сигнала, квантованного по времени, единичная матрица.

Зависимость выходного сигнала от дискретного возмущающего воздействия во временной области имеет вид

Из уравнения (5.6) можно установить, каким должно быть возмущающее воздействие (т. е. последовательность чисел чтобы в результате мы получали желаемый выходной сигнал Из уравнения (5.3) следует, что если изображение этой последовательности может быть получено в конечной форме, то выражение для тоже может быть найдено в замкнутой форме (т. е. дискретное корректирующее устройство будет иметь конечное число элементов памяти и задержки).

Из сравнения уравнений (5.5) и (5.6) видно, что между передаточной матрицей корректирующего устройства и при известных имеет место сложная зависимость. Это значительно затрудняет нахождение такого подходящего выражения для определяющего чтобы на выходе получился желаемый сигнал К счастью, это затруднение легко преодолеть, если принять разомкнутую структуру, изображенную на рис. 5.3, в качестве эквивалентной рабочей модели.

На вход объекта, включающего фиксирующее устройство, подаются сигналы с выхода разомкнутого корректирующего устройства, передаточная функция которого равна и входной сигнал которого нам известен. Это именно тот сигнал, который нас интересует.

Следует иметь в виду, однако, что для других структур более простые рабочие модели могут не существовать.

В таких случаях выход системы может быть видоизменен для достижения желаемого процесса. Из структуры, изображенной на рис. 5.3, легко найти эквивалентную замкнутую систему.

Рис. 5.3. Разомкнутое дискретное корректирующее устройство для объекта

После того как обеспечен удовлетворительный процесс этой разомкнутой системы, уравнение относительно модифицированного -преобразования разомкнутой системы, изображенной на рис. 5.3, имеет вид

или

Во временной области уравнение (5,6) может быть представлено в виде

где

Таким образом, зависимость от передаточной матрицы дискретного корректирующего устройства становится очень простой.

Рассмотрение требуемого вида при типовых входных сигналах, которым соответствуют изображения вида 1 показывает, что должна состоять из переходной и установившейся составляющих, причем длительность переходной составляющей не должна превышать требуемого времени установления. Отсюда можно заключить, что передаточная функция должна иметь вид

где соответствует той части разомкнутого корректирующего устройства, которая обеспечивает требуемое усиление и установившееся значение. Таким образом, выбирается, исходя из пределов ошибки установившегося процесса. имеет вид полинома от Эта часть корректирующего устройства влияет как на длительность, так и на форму переходной составляющей. Выбор числа слагаемых производится из

общих требований к свойствам системы (главным образом ко времени установления) и в зависимости от особенностей объекта. Обычно приходится делать многократные попытки, прежде чем удается найти такое разумное корректирующее устройство, которое удовлетворительно воздействует на объект (т. е. такое, при котором частота повторения и природа объекта позволяют его использовать).

Вторая часть корректирующего устройства, соответствующая может быть найдена применением теоремы о конечном значении (в предположении, что система устойчива) к модифицированному -преобразованию выходной величины системы рис. 5.3 при условии, что входная величина изменяется скачком. (Любопытно отметить, что для установившегося значения в разомкнутой системе, состоящей из фиксирующего устройства нулевого порядка и объекта, эта разомкнутая структура при воздействии вида скачка эквивалентна непрерывной системе. Отсюда, между прочим, вытекает возможность применения теоремы о конечном значении в -плоскости.) Таким образом, определяется из требований к установившемуся процессу. Для входных воздействий более высокого порядка будет такая же, как в случае скачка на входе.

Из сказанного следует, что управляющее воздействие системы определяется конечным числом неизвестных параметров корректирующего устройства. Установившийся процесс для заданной входной величины (при отсутствии установившейся ошибки) не зависит от этих неизвестных, и, таким образом, выбор их определяется только требованиями к переходному процессу.

Переходный процесс как функция времени описывается уравнением (5.8). Это уравнение определяет связь неизвестных параметров корректирующего устройства с непрерывной выходной функцией. Отсюда следует, что синтез, основанный на временных методах, является более логичным способом проектирования, так как требования, предъявляемые к переходному процессу (время нарастания, установления, перерегулирование и т. д.), могут быть непосредственно использованы для выбора неизвестных параметров дискретного корректирующего устройства.

Наиболее трудной частью задачи синтеза, таким образом, является выбор непрерывной выходной функции, удовлетворяющей ограничениям, связанным как с объектом, так и с выбором корректирующего устройства. После того как выбран закон изменения выходной величины, можно рассчитать разомкнутую коррекцию, и задача отыскания эквивалентного замкнутого корректирующего устройства легко решается: приравниваются выражения для заданные уравнениями (5.3) и (5.7), и из них находится

Очевидно, что эта методика позволяет полностью учесть все особенности объекта. Достижимая выходная величина существенно зависит от характеристик объекта, но в то же время она может быть выбрана таким образом, чтобы получить оптимальный в некотором смысле непрерывный процесс. При определении коррекции таким способом объект сохраняет более естественное поведение в противоположность способу, при котором требуют, чтобы процесс принимал ряд заданных значений.

Примеры дискретной коррекции

Для иллюстрации главных особенностей предлагаемого метода синтеза и выявления возможных видов выходных сигналов при дискретной коррекции рассмотрим три примера. Первый пример соответствует системе с входной функцией в виде скачка, второй — системе с линейно возрастающей входной функцией, и последний — системе с минимальной интегральной квадратичной ошибкой.

Пример 1. Система второго порядка с действительными полюсами и входной функцией в виде скачка. Структура системы изображена на рис. 5.4. На рис. 5.5 изображен непрерывный процесс в системе при подаче скачка на вход и отсутствии коррекции.

Рис. 5.4. Нескорректированная система примера 1.

Плохая форма переходного процесса должна быть улучшена при помощи дискретного корректирующего устройства, включенного последовательно с объектом, как это показано на рис. 5.2. Требования к переходному процессу, которым он должен удовлетворять при подаче скачка на вход, приведены ниже (далее будем полагать с где -постоянная, равная 0,5 сек):

1. Конечное значение равно единице:

2. Время нарастания: сек, т. е.

3. Перерегулирование:

Передаточную функцию для разомкнутого корректирующего устройства выберем в таком виде:

Минимальное число членов корректирующего устройства, т. е. число степеней свободы, определяется на основе ряда требований, предъявляемых к переходному процессу. В зависимости от ограничений, налагаемых требованиями, может оказаться, что необходимо большее число слагаемых, чем то, которым мы задались.

Рис. 5.5. Процесс в системе примера 1 при скачке на входе.

Выходная величина разомкнутой системы определяется выражением

где

Выходная величина, как функция времени, представляется уравнением

где передаточная матрица объекта и фиксирующего устройства, передаточная матрица разомкнутого корректирующего устройства. На основе теоремы о конечном значении можно показать, что имеет вид

Поэтому выходная функция разомкнутой системы при входном воздействии в виде скачка имеет вид

или

Из последнего уравнения находим

Подставляя численные значения (значения характеристик переходного процесса и параметров объекта) в уравнения (5.19) и (5.20), получаем

Решение этих уравнений дает

Поэтому

График скорректированного переходного процесса приведен на рис. 5.5. Передаточная функция эквивалентного замкнутого корректирующего устройства находится из уравнения (5.11):

Окончательный вид структуры замкнутой системы показан на рис. 5.6. Проверка производных выходной функции показывает, что отсутствуют максимумы и минимумы после первого пикового значения.

Рис. 5.6. Скорректированная система примера 1.

Время установления однозначно определяется выбором Если требуется изменить время установления, то необходимо выбрать новые значения так как время установления и время достижения максимума перерегулирования взаимозависимы.

В ряде случаев желательно избежать сложного корректирующего устройства замкнутой системы. Рассмотрение этого показывает, что управляющее воздействие при может быть сделано для замкнутой системы в точности равным нулю лишь за счет значительного усложнения корректирующего устройства. Очевидно, что для удовлетворения требований, предъявляемых к системе при нет необходимости, чтобы управляющая функция была в точности равна нулю: достаточно, чтобы она была "мала и быстро подходила к нулю. Описываемый ниже способ аппроксимации дает удовлетворительные результаты для этой системы.

Аппроксимируем передаточную функцию замкнутого корректирующего устройства следующим выражением:

и рассмотрим способ определения неизвестных таким образом, чтобы первые три ординаты управляющего воздействия

были подобраны точно. Этим самым точно задается последовательность ошибки для так как выходная величина для будет та же, что и в случае замкнутого корректирующего устройства; однако для

выходная величина будет иметь отклонения, зависящие от того, насколько выбранная передаточная функция корректирующего устройства соответствует передаточной функции точного замкнутого корректирующего устройства.

Поэтому

Из этого выражения получаем

На рис. 5.5 показан процесс в системе с выбранной передаточной функцией корректирующего устройства и для сравнения показан также исходный процесс. Можно было усложнением корректирующего устройства получить лучшее приближение. Описанный способ аппроксимации очень полезен при необходимости экономии числа элементов дискретного корректирующего устройства без значительного ущерба для качества.

Процесс конечной длительности. Одна из наиболее полезных особенностей дискретной коррекции состоит в возможности получения процессов с конечным временем установления. Ниже будет показано, что метод, рассмотренный ранее в качестве частного случая, позволяет получить передаточную функцию дискретного корректирующего устройства, обеспечивающего конечную длительность процесса в системе. Ниже приведен пример системы с конечной длительностью процесса при скачкообразном возмущении, а также условия, при которых возможен процесс конечной длительности.

Необходимое условие процесса с конечным временем установления состоит в совмещении корней характеристического уравнения в начале координат -плоскости. Рассмотрим типичную систему, изображенную на

рис. 5.2, в которой сигнал ошибки подается на импульсный элемент. Исследование, приводимое ниже для выходной величины

показывает, что выбором всегда можно (при условии, что передаточная функция объекта не имеет полюсов вне окружности единичного радиуса и имеет не более одного полюса на этой окружности) получить совмещение корней характеристического уравнения с началом координат. Однако возможность получения процесса конечной длительности, как это показано ниже, зависит от передаточной функции объекта Допустим, что

где коэффициенты полинома числителя представляют собой функции от Очевидно, что коэффициенты полинома не могут обращаться в нуль для всех значений Поэтому, если желательно иметь процесс конечной длительности (в данном случае задано минимальное время нарастания для скачкообразного входного возмущения, то изображение выходной функции должно иметь следующий вид:

Во временной области будем иметь

Так как требуется, чтобы процесс заканчивался не только в моменты съема, но и между ними, то сумма не должна зависеть от т. е. она должна быть постоянной. Это необходимое условие для процесса конечной длительности. Минимальное время нарастания равно периодам повторения, где равно числу в полиноме числителя передаточной функции объекта

В рассматриваемом примере необходимое корректирующее устройство находится из условия

где левая часть определяется уравнением (5.28).

Это уравнение определяет передаточную функцию последовательного корректирующего устройства по которой легко найти передаточную функцию замкнутого корректирующего устройства на основе соотношения (5.11). В данном примере мы получаем

Процесс конечной длительности изображен на рис. 5.5.

Отметим, что этот метод коррекции для получения процесса конечной длительности не требует отсутствия насыщения объекта. Если в системе имеется насыщение, то процесс конечной длительности можно получить ослаблением требования ко времени нарастания. Таким образом, если не является переменной, то требуемый вид для изображения выходной функции (при скачкообразном входном сигнале) должен удовлетворять уравнению

где выбирается в соответствии со временем нарастания, которое позволяет выбрать коэффициенты такими, чтобы управляющее воздействие находилось внутри границы насыщения. После выбора передаточная функция замкнутого корректирующего устройства получается, как и прежде.

При рассмотрении выходной величины этой системы, выраженной только через скачкообразное входное воздействие, мы заключили бы, что процесс конечной длительности очень хорош. Однако, как это показано на рис. 5.7, сравнение выходного сигнала системы при входном сигнале, изменяющемся с постоянной скоростью, для двух корректирующих устройств обнаруживает значительное их различие. Как и следовало ожидать, линейная система обнаруживает значительно лучшее качество при входном сигнале, изменяющемся с постоянной скоростью, за счет увеличения перерегулирования и времени установления при подаче скачка на входе. Таким образом, требуется компромиссное решение. В связи с этим некоторые авторы предлагали при рассмотрении подобных случаев учитывать некий коэффициент жесткости веса требуя, чтобы характеристическое уравнение имело вид вместо Коэффициент жесткости веса а больше нуля и меньше единицы. Другой метод заключается в том, что проектирование ведется в расчете на входные сигналы более высокого порядка (см. пример 2) или в применении критерия суммарной квадратической погрешности (см. пример 3).

Пример 2. Линейно нарастающее входное возмущение; объект второго порядка с действительными полюсами. Этот пример иллюстрирует расчет системы при линейно возрастающем входном возмущении без учета требований к процессу при скачкообразном входном возмущении. Однако если желательно выполнение таких одновременных требований, то необходим попеременный расчет вследствие взаимозависимости требований к поведению системы для этих стандартных входных возмущений.

Рис. 5.7. Процесс в системе примера 1 при линейно нарастающем входном возмущении.

Рассмотрим ту же систему, что и в примере 1 (рис. 5.4) и следующие требования при линейно возрастающем входном возмущении:

1. Конечное значение: нулевая ошибка установившегося процесса, т. е.

2. Время нарастания:

3. Перерегулирование:

4. Время установления приблизительный минимум, обеспечивающийся надлежащим подбором четырех переменных разомкнутого корректирующего устройства.

Передаточная функция разомкнутого корректирующего устройства выбирается в соответствии с требованиями в следующей форме:

В этом выражении имеет вид, аналогичный выражению (5.16) примера 1, с той лишь разницей, что теперь оно включает два дополнительных параметра корректирующего устройства. Таким образом,

Такая форма обеспечивает совпадение установившейся выходной величины с линейно нарастающей входной величиной. Множитель обеспечивает параллельность установившейся выходной величины с линейно нарастающей входной величиной, а другой множитель, определяет усиление, необходимое для обеспечения совпадения. Это фактически показывает взаимосвязь между установившейся ошибкой при линейно нарастающей входной величине и характеристиками процесса при скачкообразном возмущении.

Эквивалентная выходная функция, при линейно нарастающей входной величине, изображение которой равно для разомкнутой структуры системы имеет вид

где параметры объекта определяются из уравнения (5.14). Процесс, как и выше, получается из уравнения эквивалентной матрицы. Уравнения, которые необходимо удовлетворить, чтобы выполнить необходимые требования, имеют вид

Подставляя численные значения в уравнения (5.36) и (5.37), получаем

Решая эти уравнения, получаем выражение для передаточной функции корректирующего устройства:

На рис. 5.8 изображен процесс в системе с полученным корректирующим устройством при линейно нарастающем входном возмущении, а также процесс при скачкообразном входном возмущении. Перерегулирование при скачкообразном входном возмущении велико, как и следует ожидать, исходя из требований к времени нарастания и установившемуся процессу при линейно нарастающем возмущении. Смягчение этих требований, в особенности требований к

времени нарастания, позволило бы снизить величину перерегулирования при скачкообразном возмущении.

Процесс конечной длительности. Один из процессов конечной длительности, возможный при дискретной коррекции, был получен при рассмотрении примера 1. Здесь рассматривается процесс конечной длительности при линейно нарастающем входном сигнале.

Рис. 5.8. Процессы в системе примера 2 при скачкообразном и при линейно нарастающем входном возмущении.

Процесс конечной длительности при скачкообразном входном возмущении для системы, рассмотренной в примере 1, изображен на рис. 5.5, а соответствующий процесс при линейно нарастающем входном сигнале показан на рис. 5.7. Очевидно, что единственное дополнительное требование для процесса конечной длительности при линейно нарастающем входном сигнале в такой системе состоит в требовании уменьшения скоростной ошибки до нуля. Это может быть выполнено только за счет увеличения перерегулирования при скачкообразном входном воздействии. В процессах конечной длительности при линейно нарастающем входном воздействии уменьшение времени нарастания существенно повышает величину перерегулирования при скачкообразном

входном воздействии. Можно изменить этот процесс, уменьшая время нарастания для линейно нарастающего входного воздействия (это равносильно ухудшению качества ускорения). Рассмотрим вначале процесс конечной длительности, с минимальным временем нарастания, а затем изложим метод изменения процесса при скачкообразном входном воздействии.

Нормированный процесс при линейно нарастающем воздействии в системе, скорректированной так, что в ней имеет место процесс конечной длительности при скачке на входе, находится простым умножением уравнения (5.28) на Эквивалентный переходный процесс как функция времени находится умножением уравнения (5.29) на передаточную матрицу

Обозначая процессы при линейно нарастающем входном воздействии через получаем

где

и

Очевидно, что для получения сглаженной скоростной ошибки величина должна быть линейной функцией от не должна зависеть от апостоянный коэффициент при в выражении должен быть равен Эти необходимые условия для рассматриваемого примера выражены соотношениями (5.41) и (5.41а). Далее мы увидим, что эти условия необходимы также и в случае получения процесса конечной длительности при линейно нарастающем входном воздействии. Установившаяся ошибка, как показано ниже, может быть сведена к нулю за минимальное время.

Положим в уравнении равным единице, т. е. введем один дополнительный нуль в выражение для выходной величины. Преобразовывая получающееся выражение для линейно нарастающего входного воздействия для

как это предусмотрено в данном примере, получаем нижеследующую выходную функцию времени:

Поскольку (как это указано выше) всегда будет иметь вид (где представляет собой постоянную часть то для получения процесса конечной длительности при линейно нарастающем входном воздействии выходная величина в течение четвертого периода квантования должна равняться как это видно из уравнения (5.42). Таким образом, может быть найдено путем решения уравнения для всех да, (5.43)

из которого получается при

Уравнение (5.43) вообще применимо для определения положения дополнительного нуля в системах с квантованием сигнала ошибки, когда желательно иметь минимум времени нарастания процесса конечной длительности при входном воздействии в виде линейно нарастающего сигнала. В данном примере

Передаточная функция разомкнутого корректирующего устройства, таким образом, принимает вид

или

Если необходима дополнительная свобода действий, например для уменьшения времени нарастания процесса при скачке на входе, то количество членов в уравнении (5.32) выбирается в соответствии с требованием ко времени нарастания, чтобы обеспечить нужные характеристики процесса при таком воздействии. Таким путем можно добиваться изменения процессов как при скачке, так и при линейно нарастающем сигнале на входе.

Более того, процесс конечной длительности при линейно нарастающем входном воздействии может достигаться за счет устранения нежелательных полюсов; этот способ требует большой осторожности из-за возможных вариаций параметров, как это будет пояснено ниже.

Пример 3. Минимальная интегральная квадратичная ошибка; объект второго порядка. В этом примере рассматривается одна простая задача: сведение к минимуму квадратичной ошибки в системе второго порядка при скачке на входе. В качестве исходной модели выберем разомкнутую структуру. В целях математического упрощения число параметров корректирующего устройства будет ограничено и равно двум. Цель этого примера состоит в выявлении основных задач, встречающихся при этом, и в получении решения, которое можно было бы сравнить с решением примера 1.

Рассмотрим тот же объект, что и в примере 1 (рис. 5.4). Соотношения (5.13) и (5.14) определяют параметры объекта. Так как разомкнутое корректирующее устройство ограничено двумя переменными и требуется иметь конечное значение, равное единице, вследствие ранее указанных требований к ошибкам, корректирующее устройство имеет тот же вид, что и в примере 1, т. е. определяется уравнениями (5.16) и (5.17). Изображение непрерывной ошибки (при скачке на входе) выражается уравнением

Для определения квадрата ошибки удобно оперировать с замкнутой формой ошибки переходного процесса. Такая форма, когда это возможно, может быть получена посредством интеграла обращения. Вследствие того, что определяемое уравнением (5.47), имеет особые точки в начале координат, переход ко временной области расчленяется на две части. Для первые три составляющих ошибки легко определяются по коэффициентам разложения в ряд подынтегральной функции, а именно:

Последующие значения функции ошибки могут быть найдены в замкнутой форме путем вычисления интеграла

откуда

Выполняя во временной области операцию возведения в квадрат функции, которая определена в разных интервалах, получаем

Таким образом, операция возведения в квадрат и интегрирования дает

Выполняя это интегрирование и суммирование и подставляя численные значения для данного примера, получаем следующее выражение для интегральной квадратичной ошибки:

Для определения минимума суммарной квадратичной ошибки (обозначаемой через необходимо, чтобы выполнялись условия

что приводит к системе уравнений

Решение этих уравнений дает

Передаточная функция разомкнутого корректирующего устройства имеет вид

Передаточная функция эквивалентного замкнутого корректирующего устройства может быть найдена, как и раньше.

Процесс в системе при подаче на вход скачка изображен на рис. 5. 9. Сравнивая его с поведением скорректированной системы, рассмотренной в примере 1, обнаруживаем, какое влияние оказывает расчет системы на минимум квадратичной ошибки.

Рис. 5.9. Процесс в системе примера 3 при скачке на входе.

Как видно, теперь время нарастания значительно уменьшилось, так как вследствие применения этого критерия большие ошибки приобретают значительный вес. Этот результат обнаруживает возможность отсутствия процесса регулирования вследствие применения неограниченных критериев в задачах с насыщением. Показатели процесса могут быть улучшены добавлением переменных параметров в дискретном корректирующем устройстве. Дальнейшее улучшение процесса заключалось бы в использовании критерия ошибки, взвешенной во времени, При этом малые ошибки при больших значениях времени оказывали бы заметное влияние на функцию, которую требуется минимизировать.