2.12. Теоремы, относящиеся к модифицированному z-преобразованию

а) Теоремы о начальном и конечном значении. 1. Теорема о начальном значении. Из уравнения (2.67) следует, что начальное значение получается, когда в выражении для Таким образом,

2. Теорема о конечном значении. Модифицированное -преобразование выходной величины может быть разложено на простые дроби следующим образом:

Оригинал, соответствующий выражению (2.75), может быть записан в виде

Для устойчивой выходной величины лежат внутри круга единичного радиуса, и при уравнения (2.75) и (2.76) дают теорему о конечном значении в следующем виде:

Если является функцией от то теорема о конечном значении дает установившееся значение пульсаций непрерывной выходной величины. Если пульсаций нет, то не зависит от и теорема о конечном значении имеет тот же вид, что и для моментов съема. Эта теорема может быть применена для получения конечного значения, указанного на стр. 47.

б) Теорема дифференцирования по m.

или

Это следует из аналогичной теоремы обычного преобразования Лапласа

но

следовательно,

Эта теорема, как это будет показано дальше, может быть использована при определении максимальных и минимальных значений процесса.

Пример. Предположим, что задается следующим выражением:

Соответствующее модифицированное -преобразование имеет вид

Применяя обратное модифицированное z-преобразование, получаем

С другой стороны,

Производная от этого выражения по записывается следующим образом:

Как и следовало ожидать из теоремы о дифференцировании по уравнение (2.86) идентично уравнению (2.84).

в) Теорема смещения.

где

Доказательство. Из определения модифицированного -пре-образования следует, что

Так как

уравнение (2.90) принимает вид

или

Если правую часть уравнения (2.93) умножить и разделить на то можно записать

По определению

или

Подставив выражение (2.96) в выражение (2.94), получаем (2.87). Аналогичным образом может быть получено уравнение (2.88), если в уравнении заменить на

Пример. Предположим, что имеет следующий вид:

Для того чтобы получить применим теорему смещения; из таблицы 2.1 и на основании уравнения (2.87) можно записать

Выражение (2.99) можно переписать еще так

Выражение (2.100) дредставляет собой модифицированное -преобразование функции

которое может быть найдено из табл. 2.1 или с помощью формулы (2.26).

г) Теорема о предельном значении.

Доказательство. По определению

и

Так как суммирование не зависит от а, то

но

и теорема доказана. Как следствие этой теоремы можно записать

Пример. Пусть имеет вид

В этом случае

но

и

что подтверждает теорему.

д) Теорема интегрирования по переменной а.

Доказательство. Из определения -преобразования следует, что

Так как суммирование не зависит от а, то

но

Следовательно,

В качестве следствия этой теоремы имеем:

Пример. Пусть известно -преобразование

Найдем, чему равно выражение

Этот интеграл равняется

На основании теоремы

Таким образом, мы получаем -преобразование следующей функции:

е) Теоремы о максимумах и минимумах. Существует несколько методов нахождения экстремумов и точек перегиба процесса в системе. Во-первых, с помощью интеграла обращения мы получаем значение с откуда максимумы и минимумы могут быть найдены следующим образом:

1. Если выражение для с может быть приведено к виду где то точки максимума и минимума могут быть определены с помощью обычного дифференцирования по времени тем же путем, что и в случае обычных непрерывных систем:

Однако не всегда удается точно преобразовать с к виду с Поэтому должны быть разработаны другие методы.

2. Если максимум лежит вблизи максимума в момент съема, что чаще всего и бывает, то мы можем получить ятах или с (ятах, которые можно продифференцировать по и найти из уравнения

Таким образом, действительный максимум может быть получен как значение

3. В некоторых случаях действительная выходная величина может быть записана в виде

Максимум может быть получен с помощью дифференцирования по

Так находится значение которое определяет максимум для и для любого целого числа.

4. Если с помощью метода 2 мы получаем, что значение с (ятах, равно постоянной величине, то действительный максимум оказывается тем же, что и в моменты съема, и, кроме того, постоянным между этими моментами.

то фактический максимум совпадает с максимумом в моменты съема.

6. В общем случае мы можем использовать следующее соотношение:

которое определяет зависимость Так как должно быть целым числом и то точка максимума может быть найдена методом проб.

Кроме того, степенной ряд определения процесса позволяет найти значение максимума двумя путями:

Нужно продифференцировать каждую функцию, как указано выше, и найти значение ту удовлетворяющее этим условиям.

(б) На основании теоремы дифференцирования можно продифференцировать модифицированное -преобразование выходной величины по и полученное выражение разложить по степеням Из равенств коэффициентов разложения в степенной ряд нулю можно определить значения максимумов и минимумов, если эти коэффициенты вообще обращаются в нуль при значениях ту заключенных между нулем и единицей. Математически это представляется в следующем виде:

где считается

Решение этих уравнений относительно определяет точки максимума и минимума.

Преимущество использования производных заключается в простоте разложения их в ряд по степеням

ж) Теорема о среднеквадратическом значении

Доказательство. На основании выражения для -преобразования в виде бесконечного ряда можно записать следующее соотношение:

а также

Пусть в этом выражении тогда есть величина, сопряженная с Тогда

Это соотношение было введено Баркером и другими авторами. Исходя из выражения для модифицированного -преобразования в форме бесконечного ряда, имеем

Пусть

Тогда

Перемножим уравнения (2.133) и (2.135) и отметим, что для линейной системы

Тогда

Среднее значение второго слагаемого при изменении от до I ракно нулю, так как при ортогонально на интервале изменения Следовательно,

Это соотношение было получено Мори Таким образом, формулы (2.138) и (2.132) доказывают следующую теорему:

Пример. Предположим, что выражение для имеет вид

Тогда

Переходя в этом выражении к -преобразованию, с помощью таблиц найдем

откуда

С другой стороны, модифицированное -преобразование уравнения (2.140) имеет вид

и

или

что в результате дает

Среднеквадратическое значение равно

или, иначе,

Выражение (2.148) эквивалентно выражению (2.142а), что и следовало ожидать на основании теоремы.

Следует отметить, что в большинстве случаев для получения среднеквадратического значения модифицированной передаточной функции удобнее использовать эту теорему, чем обычное интегрирование по да.