3.1. Построение корневых годографов

Корневой годограф может быть дополнен следующим соотношением:

где может быть любым углом, лежащим в пределах от нуля Семейство кривых, соответствующих постоянным (годографы постоянного фазового угла), может быть построено для различных значений аналогично тому, как это делается в непрерывных системах.

Корневой годограф является тем годографом из этого семейства, для которого

Рис. 3.2. Фазовые годографы функции —

Рис. 3.3. Фазовые годографы функции

Найдем некоторые типовые годографы постоянного фазового угла. Например, для случая 1

Так как z есть величина комплексная и может быть записана в виде то и уравнение семейства годографов постоянного имеет следующий вид:

Из уравнения (3.4) видно, что годографы постоянного представляют собой прямые линии (рис. 3. 2). Для случая 2

В этом случае и уравнение годографов постоянной фазы имеет вид:

Уравнение (3.6) представляет собой семейство прямых линий, изображенных на рис. 3.3. Для случая 3

где действительные числа. Фазовый угол в этом случае может быть представлен в виде

Если в уравнении (3.8) обозначить то после некоторых преобразований уравнение годографов постоянного может быть записано следующим образом:

Как показано на рис. 3.4, уравнение (3.9) соответствует семейству окружностей. Напомним еще раз, что корневой годограф — это годограф постоянного для которого равно

Рис. 3.4. Фазовые годографы функции

Так как z-преобразование передаточной функции обычно рассматривается как состоящее из комбинации трех рассмотренных случаев, то трех основных форм которые были разобраны, оказывается достаточным, чтобы охватить большинство видов Эти типовые годографы постоянного могут использоваться в различных сочетаниях для получения годографов постоянного для произвольной Корневой годограф может быть получен выбором годографа постоянного для которого Для того чтобы получить корни уравнения необходимо наложить условия на абсолютную величину т. е. потребовать, чтобы

Как уже говорилось ранее, обычно включает в себя полюсы и нули в плоскости Таким образом, правила, которые применяются для построения корневого годографа в непрерывном случае, могут использоваться для построения корневого годографа в плоскости z. Эти правила имеют существенное значение для определения характеристик и свойств корневого годографа. Действительно, корневой годограф всегда симметричен относительно действительной оси

(см. скан)

в плоскости z, асимптоты и точки разветвления аналогичны непрерывному случаю. Пересечения с горизонтальной осью легко получаются из непрерывного случая.

В таблице 3.1 изображены типичные корневые годографы для определенных функций Эти графики могут быть построены либо с помощью годографов постоянного либо с помощью правил, указанных для непрерывного случая. Для облегчения построения корневых годографов может быть использован спиральный планшет (Spirule), так же как и в непрерывном случае.