4.13. Анализ в плоскости w

Этот метод основан на билинейном преобразовании из плоскости или плоскости в плоскость

Билинейное преобразование сохраняет как отношение

двух полиномов от если как чаще всего и бывает, представляет собой отношение двух полиномов от Основной чертой преобразования, записанного уравнением (4.61), является то, что оно представляет собой конформное отображение внутренней области единичного круга на левую половину плоскости как показано на рис. 4.12. Таким образом, плоскость играет ту же роль, что и плоскость для случая непрерывных систем.

Рис. 4.12. Конформное отображение в соответствии с формулой (4.61).

Это значит, что критерий устойчивости Рауса — Гурвица может быть непосредственно применен в том виде, в каком он был рассмотрен в гл. I в параграфе, касающемся устойчивости.

На основании уравнения (4.61) билинейная зависимость между плоскостями может быть записана в следующем виде:

где представляют собой соответственно действительную и мнимую части

При использовании критерия Найквиста для исследования устойчивости в уравнении (4.62) принимает значение Таким образом, может быть записано в виде

Ясли вспомнить, что то можно записать

и

Таким образом, для частотной характеристики заменяется на где безразмерная частота, рассматриваемая как псевдочастота, связанная с со уравнением (4.65).

Следовательно, благодаря такому преобразованию для получения частотных характеристик мы можем применить метод приближенных построений (метод диаграмм Боде). Далее, следует помнить, что этот метод позволяет проектировать дискретные корректирующие устройства с помощью цепей опережения и запаздывания, соответствующих плоскости Проектные требования к коэффициенту усиления и полосе пропускания могут быть учтены в диаграмме, построенной в единицах псевдочастоты, которая с помощью уравнения (4.65) может быть преобразована в обычную частоту Таким образом, для проектирования с успехом могут быть применены диаграммы Никольса.

Можно обобщить этот метод для получения информации о всем процессе (а не только о процессе в моменты съема), применив метод модифицированного -преобразования к типичной замкнутой импульсной системе, изображенной на рис. 4.11. В этом случае модифицированное -преобразование выходной величины имеет вид

Используя билинейное преобразование, записанное уравнением (4.61), мы можем только что приведенное уравнение преобразовать в плоскость при постоянном Таким образом, принимает вид

а для частотной характеристики так что

Из уравнения (4.68) можно видеть, что, когда обращается в и мы получаем требуемую информацию о поведении системы в моменты съема. Однако для получения информации о поведении системы между моментами съема нужно менять от нуля до единицы. Эта методика полезна для проверки параметров, полученных при расчете реакции в моменты съема.