9.2. Метод обратного p-преобразования

Из выражения (9.13) видно, что изображение выходной величины состоит обычно из рациональных функций от аргументов и 5 и что, кроме того, число полюсов выражения в -плоскости бесконечно. Именно вследствие этого бесконечного числа полюсов использование формулы обратного преобразования Лапласа приводит к функции времени в виде бесконечного ряда.

Для нахождения выходной величины в замкнутой форме можно использовать обратное модифицированное -преобразование, а именно:

где представляет собой модифицированное -преобразование от

Таким образом, выражение (9.19) представляет собой иной метод определения обратного преобразования Лапласа, который основан на использовании модифицированного -преобразования.

Обратное -преобразование выражается следующим соотношением:

где представляет собой контур интегрирования в плоскости z, который охватывает все особые точки выражения Наиболее часто встречаемые обратные -преобразования приведены в табл. 9.2 (стр. 326).

(см. скан)

(см. скан)

Из табл. 9.2 видно, что обратное -преобразование представляет собой функцию переменных ту где обозначает запаздывание в секунд вдоль положительного направления оси времени, действующее на функцию Физический смысл этого запаздывания показан также на рис. 9.7. Время связано с переменными и уравнением

где -период повторения в секундах; число периодов повторения, прошедших от начала отсчета времени; может равняться нулю, если как это видно из уравнения (9.21); некоторое число, которое для любого момента времени удовлетворяет условию

Рис. 9.7. Пояснение смысла функции

Выражение для выходной величины как функции времени с может быть найдено из уравнения (9.20) либо путем вычисления вычетов выражения в плоскости z, либо путем применения метода разложения в степенной ряд, описанного в гл. II.

В качестве примера рассмотрим систему, изображенную на рис. 9.8. Пусть на вход подано воздействие

изображение которого равно

-преобразование определяется выражением

Ввиду того что подынтегральное выражение в (9.24) имеет простые полюсы, для нахождения выражения для можно использовать уравнение (9.12), и тогда

Отсюда следует, что изображение выходной величины имеет вид

а выражение с для выходной величины как функции времени определяется выражением

Выходная величина может быть найдена из 5-й строки табл. 9.2.

Рис. 9.8. Система с непериодическим импульсным элементом.

Если принять, что то выходная величина представится в виде

На рис. 9.9 изображены графики изменения выходной величины в функции времени при различных значениях длительностей импульса включая значение которое соответствует непрерывному сигналу.

Рис. 9.9. Точные значения переходного процесса в импульсной системе с конечным временем съема данных, изображенной на рис. 9.8.

Выходная величина может быть также найдена методом степенного ряда, т. е. разложением выражения по степеням если принять во внимание, что равносильно введению запаздывания в полученной временной функции.