8.7. Рассмотрение методов с применением z-формы и модифицированной z-формы

Этот приближенный метод анализа можно непосредственно применить к изображению выходной величины непрерывной замкнутой системы, предполагая, что представляет собой отношение полиномов по В эти полиномы могут быть включены члены соответствующие запаздыванию. При этом запаздывание должно выражаться целочисленным значением периода повторения. Период повторения может быть определен так же, как это делалось при первом методе. Ошибка аппроксимации может быть определена, если вычислить начальные значения процесса при Формулы для верхней границы ошибки аппроксимации при этом методе отсутствуют. Если используются только -формы, то мы найдем процесс только в моменты съема. Если же используются как z-формы, так и модифицированные -формы, то можно определить значения процесса для всех моментов времени.

Этот метод можно применить также в сочетании с предшествующим методом путем получения приближенных соотношений для модифицированного -преобразования и -преобразования элементов системы. Если это выполнить, то можно найти процесс в непрерывной системе, обладающей запаздыванием, величина которого не кратна периоду повторения. Таким образом, сочетанием описанных двух приближенных методов анализа можно решать задачи анализа для более широкого класса систем, улучшая в некоторых случаях степень точности.

Пример. Применим метод -преобразования для приближенного анализа непрерывных систем автоматического регулирования. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.7, где

Этот пример исследовался методом корневого годографа. Общая передаточная функция имеет вид

Ее полюсы были найдены и равны

Все другие полюсы также комплексно сопряженные и имеют еще большие отрицательные действительные части.

Рис. 8.7. Непрерывная замкнутая система с запаздыванием.

Рассматривались только три первых главных полюса, и при этом процесс, вызванный входным линейно изменяющимся воздействием, приближенно был найден в виде

Для определения процесса на основе анализа соответствующей импульсной системы, изображенной на рис. 8.8, необходимо вначале выбрать подходящий период повторения

Рис. 8.8. Импульсная система, являющаяся приближением системы рис. 8.7.

Изображение выходной величины равно общей передаточной функции, умноженной на Следовательно, при линейном изменении входного воздействия получаем

Спектральная функция выходной величины находится заменой на в выражении (8.25):

Приравнивая абсолютное значение к числу 0,01, получаем

Точное решение уравнения (8.27) затруднительно, особенно для более сложных систем. Но точного решения его и не требуется, так как достаточно

найти любую подходящую частоту при которой абсолютное значение получается равным примерно 0,01. Напомним, что такая подходящая частота может быть получена просто с учетом того, что для больших значений частоты уравнение (8.27) приближенно равно

откуда находим верхнюю граничную частоту, равную 4,64 радиана в секунду. Подставляя в (8.27) частоту получаем абсолютное значение для равное 0,012, и потому приближенное уравнение (8.28) дает удовлетворительный результат. Частота повторения, вдвое превышающая 4,64 радиана в секунду (вдвое из-за импульсной теоремы), соответствует периоду повторения 0,675 секунды. Можно использовать этот период повторения, но величина периода повторения равная 0,5 секунды, значительно удобнее (а также более точна), так как запаздывание равно одной секунде. Так как импульсная система может быть исследована для любого произвольного запаздывания, то, вообще говоря, не обязательно, чтобы запаздывание было кратно периоду повторения.

При периоде в 0,5 секунды приближенное выражение процесса в моменты съема при линейно нарастающем входном воздействии может быть найдено из выражения (8.1). Изображение входной величины, помноженное на равно

и по таблице находим

Из выражения (8.6) имеем

и поэтому

Подставляя в (8.1) полученные выражения (8.30) и (8.32) при равном единице, получаем

или, после упрощений,

В результате деления числителя этого выражения на знаменатель получаем следующее разложение в степенной ряд у.

Процесс в моменты съема определяется коэффициентами выражения (8.35). Этот процесс изображен на рис. 8.9.

Рис. 8.9. Процессы в приближенной и соответствующей непрерывной системах, рассмотренных в примере.

Для сравнения здесь также изображены значения для моментов съема, полученные из выражения (8.24). Максимальная разность между двумя этими процессами равна всего лишь 0,05 и возникает в момент равный 3,9 секунды.

Рис. 8.10. Абсолютное значение ошибки между непрерывным и приближенным процессами.

Эта разность, выраженная в процентах, равна всего 1,5%. Такая ошибка может быть объяснена погрешностью вычисления. График изменения ошибки изображен на рис. 8.10.

Описанный метод очень прост. Трудности обыкновенного деления уменьшаются применением разложения в степенной ряд выражения

Коэффициенты легко могут быть найдены, если использовать соотношения, которые выводятся в приложении (в конце книги).

Тот же метод может быть использован для вычисления непрерывной функции времени при помощи модифицированного -преобразо-вания. Однако в этом случае коэффициенты представляют собой функции а не постоянные величины. Таким образом, находятся процессы не только в моменты съема, но и между ними. Точность может быть увеличена, если уменьшить период и повторить вычисления. Достаточно малая ошибка между первым и вторым результатами при разных значениях дает уверенность, что результаты находятся в пределах допуска.