4.5. Эквивалентность обратного преобразования Лапласа и метода обратного модифицированного z-преобразования

В главе II метод модифицированного -преобразования был применен для получения точного выражения выходной величины в замкнутой форме.

Рис. 4.5. Метод получения всех значений процесса на выходе.

Аналогичным образом тот же подход может быть применен к уравнению (4.5) для определения выходной величины в любой момент времени. Если к выходу системы подключено фиктивное запаздывание как показано на рис. 4.5, и если, далее, последовательно подключен фиктивный импульсный модулятор, то при изменении А от нуля до единицы мы можем получить выходную величину в любой момент времени. Эта процедура в точности представляет собой метод модифицированного -преобразования, за исключением того, что импульсный элемент заменен импульсным модулятором и вместо z используется переменная 5.

Используя уравнение (2.33) главы II, получим выражение для выходной величины в виде

Ранее было отмечено, что если рациональные функции от степень знаменателя которых выше, чем степень 5

числителя, как чаще всего и бывает в импульсных системах, то и представляют собой рациональные функции Следовательно, мы можем переписать уравнение (4.13) в другой форме:

Если мы заменим на z, то уравнение (4.13) будет в точности соответствовать модифицированному -преобразованию уравнения (4.5). Следовательно, обратное модифицированное -преобразование уравнения (4.14) дает нам импульсы как функции времени, причем их площади представляют собой значения в любой момент времени.

Обратное модифицированное -преобразование уравнения (4.13) может быть на основании уравнения (2.59) выражено следующим образом:

где представляет собой замкнутый контур в плоскости z, охватывающий все полюсы а-

Следовательно, если преобразование выходной величины импульсной системы записано в смешанной форме, т. е. является рациональной функцией как от так и от то для получения замкнутой формы выраженной через пит, мы можем применить метод обратного модифицированного -преобразования. Эта процедура также дает замкнутую форму бесконечного ряда, полученного с помощью обратного преобразования Лапласа. Кроме того, пульсации импульсного элемента могут быть легко определены на основании георемы о конечном значении, полученной для модифицированного -преобразования.

Рис. 4.6. Иллюстрирующий пример.

Пример. Для того чтобы проиллюстрировать эквивалентность обратного модифицированного -преобразования и обратного преобразования Лапласа, рассмотрим систему, изображенную на рис. 4.6. В этой системе обратное преобразование Лапласа выходной величины, определенное уравнением (4.5), имеет следующий вид:

задается в форме уравнения (4.3) ввиду того, что обладает импульсной характеристикой, которая не равна нулю при Таким образом,

Уравнение (4.18) может быть переписано следующим образом:

Легко заметить, что уравнение (4.19) записано в форме бесконечного ряда, причем его полюсы в плоскости расположены, как показано на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Расположение полюсов и нулей в плоскости

Для получения процесса с можно сначала найти различные процессы, соответствующие отдельным членам уравнения (4.19), найдя обратное преобразование Лапласа каждого слагаемого. Например, решение первого порядка, которое соответствует полюсам, расположенным в основной полосе, изображенной на рис. 4.7, определяется следующим выражением:

а решение, описывающее пульсации, образуется за счет высокочастотных составляющих. В некоторых случаях нас интересует поведение системы в

области низких частот. При этом в уравнении (4.19) можно ограничиться лишь несколькими членами. Например, в данном примере нас, допустим, интересует лишь решение первого порядка и первые две боковые частоты. Тогда

Приближенное решение может быть найдено с помощью обратного преобразования Лапласа:

Точное выражение процесса может быть получено путем учета реакций, вызванных всеми высшими гармониками в уравнении (4.19). Конечная форма этого процесса определяется выражением

Это выражение записано в форме бесконечного ряда, которой для исследования реакции пользоваться неудобно. Однако эта трудность может быть легко преодолена, если воспользоваться модифицированным z-преобразованием следующим образом: для скачкообразного входного сигнала может быть записано в виде

и, следовательно,

Так как выражение (4.24) записано в смешанной форме, т. е. в него входит одновременно и то реакция с полученная с помощью обратного преобразования Лапласа, имеет вид бесконечного ряда. Однако на основании уравнения (4.14) модифицированное -преобразование выражения (4.23) может быть записано следующим образом:

где является модифицированным -преобразованием выражения

которое определяется уравнением (4.13). Из таблиц модифицированного -преобразования можно легко получить

Следовательно, уравнение (4.25) сводится к виду

Обратное модифицированное z-преобразование уравнения (4.27) может быть получено с помощью уравнения (4.15) или на основании таблиц обратного -преобразования и в данном случае имеет вид

Первая скобка выражения (4.28) описывает установившийся процесс или в данном случае установившиеся пульсации, а вторая скобка соответствует переходному процессу. Таким образом, с помощью преобразования в плоскость бесконечное число полюеов в плоскости превращается в единственный полюс в плоскости z. Следовательно, решение получается в замкнутой форме, и его можно легко вычертить и исследовать.