3.6. Определение установившихся ошибок с помощью корневого годографа

а) Установившаяся ошибка в моменты съема, z-преобразование ошибки в моменты съема для системы, изображенной на рис. 3.1, имеет вид

Уравнение (3.58) может быть представлено следующим образом:

Для нахождения установившейся ошибки применим к уравнению (3.59) теорему о конечном значении:

или

Установившаяся ошибка в моменты съема может быть получена из чертежа корневого годографа как отношение определенных расстояний.

Для случая скачкообразного входного воздействия уравнение (3.61) принимает вид

Из этого уравнения можно заметить, что установившаяся ошибка равна нулю, если имеется полюс расположенный в точке Аналогично для линейно нарастающего входного воздействия:

Уравнение (3.62) принимает вид

Таким образом, в случае линейно нарастающего входного воздействия установившаяся ошибка равна нулю, если имеет кратный полюс в точке

Аналогичные выводы могут быть сделаны для случаев входных воздействий более высоких порядков, если система устойчива.

б) Установившаяся ошибка в любые моменты времени. В предыдущих рассуждениях соотношения для установившегося состояния в моменты съема получаются из корневого годографа. Однако ошибка (разность между входной и выходной величинами) представляет собой непрерывную функцию. Она может быть найдена из следующих соотношений.

Модифицированное -преобразование для выходной величины определяется соотношением

Для того чтобы получить установившуюся выходную величину, применим к модифицированному -преобразованию теорему о конечном значении:

Действительная установившаяся ошибка равна

где представляет собой непрерывную входную величину.

Кроме того, действительная установившаяся ошибка может быть также получена из модифицированного -преобразования:

Последнее соотношение в случае, если система устойчива, применимо к входным воздействиям любых порядков.

В большинстве случаев предел при 1 не зависит от таким образом, соотношения, полученные с помощью корневого годографа в разделе а), тоже могут быть применены.