9.15. Замкнутая импульсная система с периодическим импульсным элементом

Применим общий метод, рассмотренный в предыдущем разделе, к анализу замкнутой импульсной системы с периодическим импульсным элементом, на который подается сигнал ошибки. Периодичность работы импульсного элемента несколько упрощает рассмотрение, но при этом возникает вопрос об устойчивости системы. Критерий устойчивости таких систем может быть выражен через некоторые постоянные коэффициенты. Эти коэффициенты называются характеристическими коэффициентами, так как они определяют характеристическое уравнение системы. Расположение корней этого уравнения определяет устойчивость системы.

На рис. 9.27 изображена импульсная система с периодическим импульсным элементом, на который подается сигнал ошибки. Период работы импульсного элемента равен а длительность равномерных импульсов равна секундам. Вообще, передаточная функция может быть выражена как отношение двух многочленов относительно Для рассматриваемой системы передаточная функция принимает вид

где представляет собой порядок системы, а порядок числителя по

крайней мере на единицу ниже, чем порядок знаменателя, в соответствии со вторым предположением.

Рассмотрим выходную величину для периода квантования, т. е. для интервала 1) Суммарная выходная величина на этом интервале имеет вид

где положительные целые числа.

Рис. 9.27. Импульсная система с периодическим импульсным элементом с квантованием сигнала ошибки.

Та составляющая выходной величины, которая получается в результате действия импульсов на промежутках может быть получена из выражения (9.185) и имеет вид

Заметим, что выражение, обратное этому, представляет собой непрерывную функцию времени, имеющую нулевое начальное значение вследствие того предположения, что реакция, соответствующая передаточной функции непрерывна при подаче входного воздействия вида скачка. Вследствие этого справедливо

Выражение (9.187) может быть записано так:

При такой записи первые членов принимают нулевые значения при всех значениях времени меньших, чем но эта запись не меняет

значений составляющих процесса в рассматриваемый интервал времени. Первая составляющая правой части выражения (9.190) может быть разложена и принимает вид

Теперь мы можем определить некоторые общие черты процесса, обусловленные этим выражением, исходя из его составляющих. Рассмотрим, например, первую составляющую:

Общие свойства этой функции можно сформулировать следующим образом:

1. Функция, обратная ей, равна нулю для всех моментов времени Это является следствием -преобразования и обеспечивает наличие множителя в -плоскости.

2. При конечна по амплитуде для всех конечных .

3. Для при знаменатель этого выражения идентичен знаменателю выражения для Причина этого была указана выше.

Из указанных трех свойств общее выражение для этого члена может быть записано в виде (см. дополнение, стр. 392)

где все зависят как от значений постоянных коэффициентов системы, так и от представляет собой знаменатель передаточной функции как это имело место в уравнении (9.186). Заметим, что порядок числителя уравнения (9.192) по крайней мере на единицу меньше порядка знаменателя. Это является следствием того, что сигнал конечен при Нетрудно убедиться в применимости этого выражения для любой заданной системы. Подобное рассуждение может быть применено ко всем другим составляющим правой части выражения (9.191), и, следовательно, можно доказать, что они все имеют множитель вида и в качестве знаменателя выражение Поэтому они могут быть приведены к общему знаменателю и выражены в виде

где

Если подставить в (9.190) выражение (9.193), то изображение суммарной выходной величины принимает вид

Можно применить теорему о начальном значении к этой задержанной функции и показать, что справедливо

Это равенство вытекает из того, что составляющая выходной величины от последнего члена, равна нулю для всех значений на интервале 0а также при что видно из уравнения (9.189). Уравнение (9.196) также может быть доказано чисто алгебраическим приемом. Подобно этому можно показать, что все остальные коэффициенты зависят от производных более высоких порядков в точке Эти производные не представляют интереса при настоящем анализе, однако они могут быть с успехом использованы при решении задачи синтеза системы. Суммарная выходная величина может быть записана при помощи выражений (9.188), (9.193), (9.195) и (9.196) в виде

Выражение (9.197) и обратное ему описывают непрерывную выходную величину на интервале Возможно упростить это выражение следующим образом: разделяется на две составляющие: которая справедлива для интервала т. е. пока импульсный элемент замкнут, и составляющую которая справедлива для интервала т. е. пока

импульсный элемент разомкнут. Можно пренебречь символом на интервале так как в течение этого интервала он обозначает умножение на единицу. Поэтому первая составляющая выходной величины может быть записана в виде

Упрощая, получим

где представляют собой числитель и знаменатель передаточной функции определяемой выражением (9.186). Видно, что в течение этого интервала выходная величина имеет такие же полюсы, что и выражение Вторая составляющая может быть записана так:

Ввиду того что в течение этого интервала импульсный элемент разомкнут, выражение для должно иметь те же самые полюсы, что и передаточная функция Вообще, можно показать, что выражение для принимает вид

где представляют собой постоянные коэффициенты, функции зависят от вида входного воздействия, представляют собой значения простых полюсов выражения передаточной функции принимает несколько

измененный вид, если передаточная функция обладает кратными полюсами. Значение указанного выше упрощения очень важно при нахождении суммарной переходной функции.

Рассмотрим теперь изображение суммарной выходной величины в течение следующего интервала повторения. Оно может быть записано так:

Первый член правой части может быть разложен в соответствии с выражением (9.193), после чего этот член имеет вид

Из уравнений (9.190) и (9.197) очевидно, что это выражение может быть записано еще так:

Можно показать, что при правая часть выражения (9.204) равна

где все представляют собой функции не только аргументов но также длительности импульсов и постоянных коэффициентов передаточной функции. Вообще, эти функции могут быть записаны как

где Ко называются «характеристическими коэффициентами» и представляют собой постоянные величины, зависящие только от параметров системы. Коэффициенты и функции а также число их зависят от вида и порядка входной функции. Приравнивая выражения (9.203), (9.204) и (9.205), мы получим следующие тождества:

Подставляя эти значения в уравнения (9.206), можно получить соотношения между членами, а именно:

Эти соотношения представляют собой систему из разностных уравнений первого порядка с неизвестными. Решение нетрудно найти методом -преобразования, как будет показано ниже. Выражение -преобразования для имеет вид

где

и

Аналогично

При нулевых начальных условиях члены вида равны нулю. Учитывая это, -преобразования уравнений (9.208) можно

записать так:

где единственные неизвестные этих уравнений. Уравнения (9.213) могут быть решены с применением определителей следующим образом. Пусть

Тогда -преобразование выходной величины имеет вид

Из выражения, обратного (9.215), находим значение выходной величины в моменты представляет собой характеристическое уравнение, корни которого определяют устойчивость системы. Для того чтобы система была устойчивой, эти корни должны лежать внутри окружности единичного радиуса. Для рассматриваемой системы порядка может быть выражено в виде следующего многочлена порядка относительно

Постоянные коэффициенты непосредственно выражаются через характеристические коэффициенты, как это видно из соотношения (9.214). Заметим, что они не зависят от входных коэффициентов Критерий устойчивости может быть выражен через соотношение между коэффициентами В. Например, для системы второго порядка можно показать, что

к для устойчивости системы необходимо, чтобы

Выводы соотношений между характеристическими коэффициентами, коэффициентами и параметрами системы, а также условий устойчивости приведены в приложении к этой главе. Можно непосредственно определить устойчивость любой заданной системы подстановкой численных значений в эти общие уравнения. Тот же прием может быть использован для нахождения уравнений систем третьего и более высоких порядков.

Если требуется определить только устойчивость и выходную величину в моменты то достаточно применить выражение (9.216), описывающее систему. Вообще рекомендуется определять непрерывную выходную величину для оценки ее переменных составляющих. В этом случае необходимо найти также выражения для Эти выражения равны

Установившиеся значения переменных составляющих могут быть найдены непосредственно из выражений для Предполагая существование пределов, можно применить теорему о конечном значении к этим выражениям для нахождения установившихся значений оригиналов соответствующих величин. Например,

Подставляя эти пределы в уравнения (9.197) и (9.199), найдем установившийся непрерывный процесс системы. В общем случае для нахождения непрерывного процесса в любом требуемом интервале времени необходимо решить уравнения (9.215) и (9.220) относительно коэффициентов которые затем подставляются в уравнения (9.195) или (9.197) и (9.199). Заметим, что все эти коэффициенты обладают одним и тем же характеристическим уравнением

Рис. 9.28. Система, содержащая элементы в обратной связи.

Таким образом, корни характеристического уравнения определяются один раз и используются для нахождения всех коэффициентов. Это значительно сокращает требуемый объем вычислений при нахождении коэффициентов. Пример, приведенный в приложении к этой главе, иллюстрирует эти приемы нахождения процесса в системе второго порядка при входных воздействиях вида скачка, при воздействии, изменяющемся с постоянной скоростью, и синусоидальном входном воздействии при различных значениях длительности импульса

Система с элементами в цепи обратной связи. На рис. 9.28, а изображена система с элементами в цепи обратной связи. Эта структура может быть представлена в виде системы со стопроцентной обратной связью, изображенной на рис. 9.28, б. Очевидно, что метод, описанный выше, может быть использован для нахождения выходной величины После нахождения

выражение для запишется в виде

Так как известны выражения для можно определить выражения для следовательно, для выходной величины