1.4. Метод z-преобразования

Другая форма может быть получена, если использовать иной способ вычисления интеграла уравнения (1.3).

Интегрирование вдоль линии от до также эквивалентно интегрированию в положительном направлении вдоль замкнутого контура, образованного этой линией и полуокружностью бесконечного радиуса в левой части плоскости комплексной частоты как показано на рис. 1.15. Это справедливо, так как интеграл вдоль бесконечной полуокружности равен нулю вследствие того, что степень знаменателя выше степени числителя:

Интеграл равен сумме вычетов функции внутри замкнутого контура интегрирования. Если в общем виде может быть записано так:

где

Рис. 1.15. Путь интегрирования в левой половине плоскости.

В том случае, когда имеет лишь простые корни, уравнение (1.18) может быть записано следующим образом:

где простые корни и

Таким образом, из уравнений (1.18) и (1.19) видно, что преобразование Лапласа для квантованного по времени входного сигнала

является функцией только переменного так как остальные члены представляют собой постоянные величины. Поэтому для удобства записи обозначим через z. Преобразование для квантованного по времени входного сигнала становится рациональной функцией от обозначаемой и называется -преобразованием или Строго говоря, оно представляет собой преобразование Лапласа для импульсного входного сигнала

Уравнение (1.1) можно записать иначе в обозначениях входного сигнала, если применить -преобразование (преобразование Лапласа) к следующему соотношению:

Применяя -преобразование к этим уравнениям, получаем следующее соотношение:

Таким образом, уравнение (1.22) является иной формой записи -преобразования входной величины.

Пример 1. Для того чтобы проиллюстрировать различные соотношения, полученные ранее, положим

Для уравнения (1.23) -преобразование может быть получено с помощью соотношения (1.19), где

Заметим, что полученное выражение есть функция от z и может быть обозначено Аналогично на основании уравнения (1.22) мы можем записать

В этом примере

Таким образом,

Для того чтобы показать, что эквивалентно выражению, определяемому уравнением (1.14), разложим следующую функцию на элементарные дроби:

где Коэффициенты могут быть получены следующим образом:

Аналогично

Следовательно, уравнение (1.29) может быть записано в виде

Таким образом, очевидно, что соотношения, определяемые уравнениями (1.25), (1.28) и (1.34), идентичны и приводят к одним и тем же результатам для -преобразования функции

Пример 2. В некоторых случаях в уравнении (1.18) имеет кратные корни порядка Для того чтобы получить соответствующее выражение для найдем сначала z-преобразование функции вида

что

Обозначение указывает, что функция, перед которой оно стоит, подвергается -преобразованию.

Аналогично, если

то

и, если

Таким образом, в общем виде справедлива следующая теорема: Если

то