1.13. Теоремы отображения

а) Отображение плоскости s на плоскость z. Преобразование комплексной переменной 5 в комплексную переменную z можно записать в следующем виде:

Для того чтобы отобразить плоскость 5 на плоскость рассмотрим предварительно отображения некоторых контуров.

Рис. 1.27. Отображение оси в плоскости

1. Отображение мнимой оси плоскости . Положим где — переменная величина; тогда z обращается в При изменении от до описывает в своей плоскости окружность единичного радиуса. При изменении от до у дописывает ту же окружность единичного радиуса и т. д. Следовательно,

на плоскость z достаточно отображать отрезок мнимой оси на плоскости от до , как показано на рис. 1.27.

2. Отображение левой половины плоскости 5 на плоскость Из предыдущих рассуждений очевидно, что для того, чтобы отобразить левую половину плоскости 5 на плоскость z, достаточно рассмотреть отображение прямоугольной области, изображенной на рис. 1.28а.

Рис. 1.28а. Полоса в левой половине плоскости

Рис. 1.28б. Отображение полосы, изображенной на рис. 1.28а, на плоскость z.

Пусть в точке с

Тогда

при как показано на рис. 1.286.

3. Отображение правой половины плоскости 5 на плоскость z. Как показано в пунктах 1 и 2, для этого случая достаточно отобразить прямоугольную полосу на плоскость 5 (рис. 1.29а). В точке с

или

Отображение этой полосы на плоскость изображено на рис. 1.29б.

4. Отображение линии постоянного затухания, изображенной на рис. 1.30а, с плоскости 5 на плоскость z. В каждой точке прямой линии значение задается следующим соотношением:

Таким образом,

Уравнение (1.203) представляет собой на плоскости уравнение логарифмической спирали (рис. 1.306).

Рис. 1.29а. Полоса в правой половине плоскости

Рис. 1.29б. Отображение полосы, изображенной на рис. 1.29а, на плоскость z.

б) Отображение плоскости z на плоскость Так как т. е. -преобразование является рациональной функцией от z, как это видно из уравнения (1.49), то мы можем применить теорему Коши об отображении плоскости z на плоскость Она формулируется следующим образом: если точка двигаясь в плоскости z в положительном направлении (против часовой стрелки), описывает замкнутый контур С, как показано на рис. 1.31, то точка двигаясь в плоскости описывает замкнутый контур (рис. 1.32). Если контур С, образованный движением точки z в положительном направлении, охватывает Z нулей и полюсов (при этом учитывается кратность полюсов и нулей), то соответствующий контур в плоскости обходит начало координат в положительном направлении

Доказательство следует из таких соображений. Предположим, что имеет только один нуль (корень) в точке и не имеет полюсов:

где А есть величина постоянная. В полярной форме это выражение принимает вид

Очевидно, что при движении точки z по контуру С в положительном направлении соответствующая точка в плоскости описывает контур Г тоже в положительном направлении.

Рис. 1.30а. Линия постоянного затухания в плоскости

Рис. 1.30б. Отображение линии постоянного затухания, изображенной на рис. 1.30а, на плоскость z.

Число раз, которое контур Г обходит начало координат, соответствует общему изменению фазы равному которое происходит при одном обходе точкой контура С.

Рис. 1.31. Замкнутый контур в плоскости z.

Рис. 1.32. Замкнутый контур в плоскости

Таким образом, контур обходит начало координат один раз, если внутри контура С содержится один нуль Аналогично контур обходит начало координат в положительном направлении

раз, если внутри контура С находится нуль порядка или различных нулей.

Рассмотрим теперь функцию без нулей с единственным полюсом в точке

Если контур С обходит полюс в положительном направлении, то контур в плоскости обходит начало координат один раз в отрицательном направлении. Это положение может бьпь обобщено, как и в предыдущем случае. Если контур С обходит полюсов в положительном направлении, то контур в плоскости раз обходит начало координат в отрицательном направлении.

Рассматривая одновременно и нули и полюсы т. е. объединяя эти два случая, получаем следующее выражение:

Когда точка z описывает в положительном направлении замкнутый контур, внутри которого находится Z нулей и полюсов, фазовый угол меняется на для каждого нуля, находящегося внутри контура, и на — для каждого полюса, находящегося внутри контура. Соответствующий контур в плоскости обойдет в положительном направлении начало координат ровно раз.

Приведенная теорема отображения может быть применена для определения устойчивости импульсной системы, изображенной на рис. 1.19, следующим образом. Если все нули находятся внутри круга единичного радиуса, то для того, чтобы импульсная система была устойчивой, необходимо, чтобы в то время, как точка описывает круг единичного радиуса, годограф обошел начало координат в положительном направлении столько раз, какова разность между числом его нулей и полюсов. Это очевидно, так как для того, чтобы система была устойчивой, все ее полюсы должны лежать внутри круга единичного радиуса (см. § 1.11).