1.15. Годограф передаточной функции G(z) в плоскости G*(z)

Предположим сначала, что передаточная функция имеет лишь простые полюсы, не имеет полюса в начале координат и степень ее знаменателя выше степени числителя по крайней мере на два. Более того, будем считать, что не имеет неустойчивых полюсов.

Используя соотношение (1.49), можно получить -преобразование Оно имеет вид

где

Для того чтобы получить годограф передаточной функции (1.210), предположим, что вне окружности единичного радиуса z описывает окружность бесконечного радиуса, двигаясь в положительном направлении, как показано на рис. 1.33. Тогда в точках для которых будем иметь

— действительное положительное число. В точке

— обычно отрицательное действительное число (при определенных условиях может быть также и положительным).

Рис. 1.33. Годограф в плоскости 2, внешний к единичной окружности.

В точке с положим

Так как степень 5 знаменателя выше степени числителя на два, то соответствующая импульсная характеристика при равна нулю. Отсюда следует:

Таким образом, годограф передаточной функции в своей плоскости имеет вид, изображенный на рис. 1.34.

Из рис. 1.34 можно видеть, что параллельные прямые линии вдоль действительной оси не влияют на устойчивость замкнутой системы, потому что они никогда не охватывают точку ). Следовательно, для изображения годографа передаточной функции — годографа Найквиста достаточно лишь внешней границы круга единичного радиуса в плоскости Кроме того, симметрично относительно действительной оси, и поэтому для построения годографа

передаточной функций достаточно одной верхней полуокружности круга единичного радиуса, включающего точки

Рис. 1.34. Типичный годограф при изменении z вдоль контура на рис. 1.33.

Предположим теперь, что имеет все простые полюсы, один из которых расположен в начале координат. Рассмотрим -преобразование

Слагаемое, соответствующее

равно

где

В окрестности точки или выражении (1.216) можно ограничиться лишь последним членом. Таким образом, полагая в окрестности точки

получим

где соответственно угол и радиус окружности в окрестности точки в плоскости 2, как показано на рис. 1.35. Когда конец радиуса описывает бесконечно малую полуокружность при изменении

0 от годограф описывает полуокружность бесконечно большого радиуса от до Типичный годограф Найквиста для функции заданной уравнением (1.221), соответствующий устойчивой системе, изображен на рис. 1.36.

В точке принимает действительное значение.

Рис. 1.35. Годограф в плоскости

Так как параллельные прямые линии не играют роли при определении устойчивости, то при построении диаграммы Найквиста ими можно пренебречь. Для построения такой диаграммы достаточно внешней границы круга единичного радиуса.

Рассмотрим, наконец, случай, когда имеет простые полюсы и полюс кратности в начале координат. Используя соотношение, аналогичное соотношению (1.18), мы можем записать выражение для -преобразования в этом случае:

Слагаемое соответствующее полюсу порядка в начале координат, может быть записано в общем виде следующим образом:

Пусть, аналогично предыдущему случаю, z вблизи точки 1 описывается выражением Тогда это слагаемое равно

Когда описывает бесконечно малую окружность при изменении фазы от до годограф описывает ряд окружностей бесконечно большого радиуса. При этом его фазовый угол меняется

от у до —у. Типичные годографы Найквиста для систем в случае, когда изображены на рис. 1.37 и 1.38.

Рис. 1.36. Типичный годограф при изменении z вдоль контура на рис. 1.35.

Рис. 1.37. Типичный годограф для случая двойного полюса в начале координат плоскости

Рис. 1.38. Типичный годограф для случая тройного полюса в начале координат плоскости

Наконец, для изображения годографа рассмотрим по отдельности каждый член суммы

Преимущество рассматриваемого метода построения заключается в том, что для годографа Найквиста каждый член суммы

(1.225) имеет вид

так что, когда описывает круг единичного радиуса, годограф функции (1.226) также представляет собой окружность в плоскости так как преобразование (1.226) является билинейным.

Таким образом, для случая, когда имеет простые полюсы и полюс в начале координат, годограф состоит из окружностей и прямых линий, которые легко начертить. Кроме того, этот метод изображения круговых годографов в результате приводит к возможности синтеза, получения требуемой формы характеристик в плоскости