1.2. Математическое описание импульсного элемента

Выражение, соответствующее выходной величине импульсного элемента, изображенного на рис. 1.4, имеет вид

где представляет собой последовательность единичных импульсов (площадь которых равна единице), равноотстоящих по времени, начинающихся при минус бесконечности и продолжающихся до плюс бесконечности, как показано на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Последовательность единичных импульсов.

Эта последовательность может быть представлена следующим выражением:

Уравнение (1.1) можно рассматривать как выражение для амплитудной модуляции с несущей в виде последовательности единичных импульсов и модулирующей функцией в виде входной величины.

Для выходных величин, которые равны нулю при отрицательных значениях времени, т. е. для случая, когда

единичные импульсы имеют существенное значение лишь для положительных значений времени; таким образом, эти величины существуют в интервале времени от нуля до бесконечности.

Так как в уравнение (1.1) входит произведение двух временных функций для значений времени то для получения преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремами умножения в действительной области. Итак,

где

Путь интегрирования в уравнении (1.3) представляет собой в комплексной плоскости линию от до причем

Эти условия ограничивают путь интегрирования аналитической полосой, которая не охватывает и не проходит через полюсы подынтегрального выражения в уравнении (1.3) (рис. 1.8).

При выполнении контурного интегрирования можно охватить полюсы выражения в правой части плоскости или в левой полуплоскости при условии, что интеграл равен нулю вдоль окружности бесконечного радиуса как в правой, так и в левой полуплоскостях. Это будет справедливо, если предположить, что степень 5 знаменателя в выражении для выше, чем степень числителя, по крайней мере на два порядка.

Таким образом, уравнение (1.3) может быть записано в следующей форме:

Известно, что линейный интеграл равен интегралу по замкнутому контуру в правой части плоскости, взятому со знаком минус, так как интеграл вдоль полуокружности бесконечного радиуса равен нулю.

Рис. 1.8. Путь интегрирования вдоль линии от до с и по окружности бесконечно большого радиуса в правой половине плоскости

Согласно интегральной формуле Коши (сумма вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах, находящихся внутри контура интегрирования).

Полюсы подынтегрального выражения, лежащие в правой части плоскости, являются нулями следующей функции:

откуда следует

или

Таким образом,

Так как

то

где частота квантования по времени или частота повторения, и, следовательно,

Уравнение (1.14) имеет вид бесконечного ряда, откуда следует, что выходная величина импульсного элемента содержит высокочастотные составляющие.

Предположим, что частотный спектр входной величины имеет вид, изображенный на рис 1.9; тогда спектр выходной величины импульсного элемента содержит в себе спектр входной величины, а также составляющие других частот, как показано на рис. 1.10.

Рис. 1.9. Частотный спектр величины на входе импульсного элемента.

(кликните для просмотра скана)

Этот рисунок соответствует случаю, когда частота самой высокочастотной составляющей входной величины меньше половины частоты повторения, т. е.

Очевидно, что при таком выборе частоты повторения мы можем восстановить входной сигнал без всякого искажения. Если же частота повторения меньше удвоенной частоты самой высокочастотной составляющей входной величины, выходная величина импульсного элемента представляет собой искаженную картину входной величины импульсного элемента (рис. 1.11 и 1.12). Соответствующие временные зависимости входных и выходных величин импульсного элемента изображены на рис. 1.13 и 1.14.

1.3. Импульсная теорема

Для восстановления входной величины частота повторения должна быть больше или равна удвоенной частоте самой высокочастотной составляющей входной величины: