6. Другая схема для измерения расстояния

Предшествующее рассуждение выявляет большие трудности, возникающие при измерении интерферометрическим методом весьма малых расстояний, и показывает, что цена таких экспериментов очень высока. Ввиду важности этого результата полезно показать, что другие методы обходятся по меньшей мере так же дорого. Можно, например, предположить, что трудности, встреченные в предыдущем разделе, были обусловлены тем, что мы применили длины волн значительно меньшие, чем измеряемые расстояния. Это привело к чрезвычайно коротким волнам в задаче измерения очень малых расстояний. Можно выбрать другую методику, основанную на применении волн значительно более длинных, чем измеряемое расстояние L. Итак, рассмотрим следующие условия:

в соответствии с (15.24) и определением (15.12). Мы имеем также:

Эта ситуация представлена схематически на рис. 15.6.

Мы будем в этом случае наблюдать интенсивность света, рассеянного частицами А и В как вперед, так и назад. Волны, рассеянные частицами А и В вперед, совпадают по фазе. Пусть а есть амплитуда волны, рассеянной каждой

из частиц. Полная интенсивность волн, рассеянных вперед, есть

тогда как волны, рассеянные назад, сдвинуты по фазе на угол и дают результирующую интенсивность

где

— малая величина на основании (15.35), так что разложение в (15.37) применимо. Разность I между дает меру

Для измерения нужно поглотить рассеянный свет в каком-либо фотоэлементе или в настроенных приемниках.

Рис. 15.6. Свет низкой частоты, рассеянный вперед частицами А и В, сохраняет фазу. Свет, рассеянный назад, отличается по фазе на . Показана также векторная диаграмма для рассеивания назад. Амплитуда равна .

Таким образом, рассеивается энергия и эта сумма равна приблизительно . Соответствующее увеличение энтропии согласно (15.39) равно

Тепловое движение в приемниках имеет порядок kT (согласно (15.34)), и поэтому как , так и измеряются с погрешностью kT, так что

(15.41)

есть погрешность измерения разности i. Мы должны применять большие интенсивности для получения удовлетворительной точности. Если положить

(15.41а)

и

то из (15.39) и (15.41а) получаем:

откуда с помощью (15.38)

Теперь из (15.41) и (15.41а) находим:

тогда как из (15.39) имеем:

или из (15.42)

Совместно с условием это дает:

(15.42а)

Коэффициент (3 получает смысл точности при измерении L, так что выражение (15.40) для увеличения энтропии ,

с использованием (15.41а) принимает вид

для длинных волн Мы должны сравнить этот результат с формулами, полученными в разделе 5. Мы рассмотрим снова два случая: А и В.

А. Короткие волны, большие расстояния (см. (15.26) и (15.27))

Имеем условие

Энтропийная цена для коротких волн при надежности эксперимента была

где . В конце концов коротковолновый метод дает:

т. е. , умноженное на численный коэффициент, значение которого составляет несколько единиц, или, самое большее, несколько десятков.

Применяя длинные волны, мы имеем выраженное формулой (15.43). Чтобы удовлетворить условию (15.35), берем

Достаточно значение у порядка нескольких десятков, и условие (15.34) автоматически выполняется с учетом (15.44). Окончательно

где численный множитель имеет величину в несколько десятков. Итак, в первом случае (А) оба метода приводят к величинам одного порядка для негэнтропийной цены измерения.

В. Короткие волны, малые расстояния (см. (15.31), (15.32) и (15.34))

Положим, что

(15.48)

При коротких волнах необходимая энергия согласно (15.32)

Лишь некоторая доля этой энергии должна рассеяться.

Если, однако, взять наиболее неблагоприятный случай (вся энергия рассеивается), то увеличение энтропии составляет:

(15.49)

Пользуясь формулой (15.43) для случая длинных волн, мы снова возвращаемся к условиям (15.34) и (15.35). Теперь более стеснительным условием является (15.34), и мы полагаем:

что

Здесь коэффициент величиной в несколько единиц достаточно велик, чтобы сделать тепловую энергию практически равной kT, как это требуется соотношением (15.41). Таким образом,

(15.50)

Множитель имеет порядок нескольких единиц. Для малых расстояний L энтропийная цена возрастает в случае длинных волн как (см. (15.50)), тогда как в случае коротких волн — лишь как (см. ).

Таким образом, для достаточно малых расстояний метод с применением коротких волн дает меньшую энтропийную цену, нежели метод с применением длинных волн; действительно,

для чрезвычайно малых расстояний длинные волны обходятся очень дорого. Процедура раздела 5 более выгодна, чем рассматриваемый здесь метод.

Рассуждение еще не совсем закончено. Увеличение энтропии зависит от точности оно растет как при коротких волнах и как при длинных.

Случай умеренно малых расстояний потребовал бы более пристального изучения, но рассмотрение этого случая едва ли дало бы что-либо практически важное.