8. Наблюдения под микроскопом

Обсужденные в предыдущих разделах проблемы измерений расстояния и времени в своих применениях покрывают почти все области физического эксперимента. Так, например, измерение электрического тока производится по показанию вольтметра, что сводится к определению положения стрелки на шкале, т. е. к измерению длины. Измерение длины, измерение интервалов времени и счет — вот основные методы эксперимента, и наши рассуждения показывают применение негэнтропийного принципа информации к этим проблемам.

Вопрос имеет, однако, настолько большое значение, что мы исследуем еще несколько дополнительных примеров. Рассмотрим прежде всего вопрос о том, каким образом определяется

положение частицы при помощи микроскопа, концентрирующего свет в фокусе F, как показано на рис. 15.8. Для того чтобы получить четкое определение фокуса, требуется определенная полоса частот и очень большое число фотонов, падающих на линзу. Задача становится определенной только тогда, когда мы ограничиваем поле наблюдения, как показано на рис. 15.8. Свет проходит через волновод, который может иметь, например, прямоугольное сечение со сторонами а и b вдоль осей х и у соответственно. Волновод определяет дискретную совокупность собственных волн), наложение которых образует фокус в фокальной плоскости, координата которой .

Рис. 15.8. Волновод ограничивает пределы наблюдений линзой микроскопа с апертурой Н. Фокус F линзы находится на уровне прямоугольного волновода.

Выберем волны Н (поперечно-электрические) с вертикально направленным магнитным полем, нормальная производная которого на границе должна обращаться в нуль:

где l и m — числа узлов в направлениях - разовая скорость данной волны в направлении z. Целые числа и пробегают все значения от 0 до , но комбинация исключена. Волновое уравнение

дает:

Фазовая скорость больше, чем с, тогда как групповая скорость меньше, чем с. Обе скорости стремятся в пределе к повышением частоты. Фазовая скорость становится бесконечно большой ( приближается к нулю) при нижней граничной частоте

и так как

то соответствующая длина волны выражается соотношением

Данная -волна может быть создана плоской волной, вступающей в волновод наклонно к оси и отражающейся попеременно от боковых стенок. Обозначим через и 0 углы, образованные падающим лучом с осями х, у и z соответственно. Мы имеем:

откуда

или

Граничные условия соответствуют . В случае рис. 15.9, очевидно, высшие -составляющие возбуждаются посредством наклонных лучей в сходящемся пучке. Подходящим наложением членов (15.62) можно образовать фокус F. Если частота света со задана, то (15.65) ограничивает значения индексов , так как всегда должно быть Если задан апертурный угол , то (15.66) дает более тесное ограничение значений . Высокая точность в определении фокуса потребует наличия в сумме членов с большими значениями , а это в свою очередь потребует высокой частоты и большой апертуры .

Мы имеем, однако, дело с иной задачей. Мы будем удовлетворены ограниченной точностью в определении фокуса и хотим связать эту точность с информацией, получаемой при наблюдении. Возьмем в сумме (15.62) конечное число членов

и выберем частоту выше пределов, установленных равенством (15.66). Условия (15.67) дают фокальное пятно конечных размеров

Мы не можем разделить переменные z и t, так как волны свободно распространяются в направлении z и предполагается, что волновод либо бесконечен, либо нагружен на конце так, чтобы избежать отражений. Можно лишь применить короткие импульсы длительности , как мы делали в главе 13, и для того, чтобы получить конечное число степеней свободы, нужно периодически повторять импульсы на промежутке t. Это дает для каждой волны число степеней свободы (см. (13.36)):

В общем, пучок имеет степеней свободы частоты со.

Положим, что при температуре Т частота низка: Каждая степень свободы имеет энергию , и, следовательно, полная тепловая энергия будет равна

Если мы хотим наблюдать фокус, различимый на тепловом фоне, мы должны применить энергию Е, но меньшей мере равную где А — коэффициент, определенный в разделах 4 и 5 главы 14.

Когда наблюдение сделано, лучистая энергия рассеивается рассматриваемой частицей и поглощается какими-либо фотоэлементами. Это дает увеличение энтропии

или, с помощью (15.68) и (15.69),

Полученная информация согласно (15.1) и (15.3) равна

— величине, всегда меньшей, чем . Негэнтропийный принцип информации удовлетворяется, так как

— неравенство, очень сходное с полученным Гэйбором при обсуждении задачи Силарда (см. (13.55)). Выражение (15.74) всегда положительно. Оно имеет при минимум, равный так как А больше единицы.

Когда поле наблюдения очень велико и точность высока, величина F становится очень большой, и энтропийная цена наблюдения много больше полученной информации Это замечание может иметь важное значение в некоторых физических задачах. Наблюдение фокуса без ограничения времени и поля сделало бы энтропийную цену бесконечно большой, что, однако, не соответствует никакой физической проблеме).