ГЛАВА 15. НАБЛЮДЕНИЕ И ИНФОРМАЦИЯ

1. Экспериментальные ошибки и информация

Мы уже подчеркивали тот факт, что количество информации, получаемое из эксперимента, тесно связано с точностью экспериментальной установки. Мы начали (глава 12) с определения информации

где — число равновероятных возможностей до наблюдения, — число равновероятных возможностей после наблюдения, — информация, получаемая в результате наблюдения.

Мы пользовались этим определением в главах 13 и 14 при самых различных условиях эксперимента. Теперь мы обсудим общую проблему точности, экспериментальных ошибок и информации. Начнем с простого и определенного примера. Мы наблюдаем положение точки на отрезке длиной L с погрешностью , как показано на рис. 15.1. Введем определения:

Точность эксперимента была определена равенством (14.29) как величина, обратная :

Это определение удовлетворяет тому условию, что большая

точность соответствует меньшей сравнительной погрешности. Абсолютная и относительная погрешности хорошо знакомы физику. Что касается сравнительной ошибки , то о ней, по-видимому, упоминается редко. Тем не менее именно эта величина имеет значение в связи с теорией информации.

Количество информации, получаемое при наблюдении, согласно (15.1) равно

Оно зависит от отношения неопределенности (которая остается и после того, как наблюдение сделано) к исходной неопределенности L, соответствующей всему диапазону наблюдения. В случае оптического прибора мы имели бы дело с отношением разрешающей способности к полной апертуре.

Рис. 15.1. Местоположение частицы определено с погрешностью в точке в пределах возможного интервала положений L.

В главе 14 (раздел 7) уже применялись сходные определения в связи с вопросом об измерении времени. Рассматривая случай короткого импульса длительностью , повторяемого с интервалами t, мы нашли, что определяющей величиной является отношение так как она фигурирует как в выражении для информации, так и в формуле для энтропийной цены. Обсудим теперь сходные задачи в пространстве и во времени и выясним, как измерить положение (координаты) х, у, z частицы в момент t с погрешностями . Определение требует введения величин , покрывающих диапазон возможных значений х, у, z и t. Если диапазон наблюдения не установлен, то информацию, получаемую при измерении, нельзя определить, а энтропийная цена становится бесконечно большой.

Напомним различие между точностью и надежностью. В главе 14 мы определили надежность путем рассмотрения возможности неправильных отсчетов, обусловленных

тепловыми флуктуациями в измерительном устройстве. Простой рисунок покажет различие между этими двумя терминами. На рис. 15.2 мы полагаем, что применяются распространяющиеся вдоль линии импульсы и что эти импульсы наблюдаются в подходящей приемной системе. Полная длительность последовательности импульсов обозначена через кратчайший импульс, который приемная система способна измерить, соответствует . Точность есть .

Рис. 15.2. Примеры импульсов с тепловым шумом, дающих четыре комбинации высокой и низкой точности с высокой и низкой надежностью: 1 — высокая точность, высокая надежность; 2 — высокая точность, низкая надежность; 3 — низкая точность, высокая надежность; 4 — низкая точность, низкая надежность.

При построении приемника мы выбрали некоторый предел интенсивности, которую приемник записывает. Импульсы с интенсивностью меньше не записываются, тогда как импульсы с интенсивностью выше записываются. Если много выше, чем средние тепловые флуктуации, то надежность велика, так как маловероятно, чтобы флуктуации достигли предела. Низкий предел слишком близкий к интенсивности тепловых флуктуаций, дает малую надежность, Общее положение поясняется рис. 15.2.