2. Вычислительная машина как математический элемент

Интересно исследовать роль вычислительной машины, когда она работает с входными данными, полученными из эксперимента. Эти данные являются результатом наблюдений над некоторой физической системой, и серия наблюдений дает обычно непрерывную функцию Так как всякая физическая система имеет конечную ширину полосы, то это относится также и к f(t).

2) Общие положения этого раздела наводят на следующие размышления. Итак, машина не создает информации; иначе говоря, никакая последовательность математических и логических действий не приводит к появлению новой информации (мы оставляем в стороне интереснейший вопрос о том, какова же действительная природа какого-либо источника информации). Следовательно, решение поставленной задачи не дает нам новой информации. Новая информация не содержится также ни в таблицах, ни в справочниках и т. п. Это уже может показаться странным, хотя несомненным образом вытекает из принятых определений. Но в таком случае ощущается настоятельная необходимость введения еще какой-то новой категории, — может быть, не информации, — которая выражала бы эффект, т. е. полезный результат работы вычислительной машины. Большая вычислительная машина стоит дорого и затрачивает значительную мощность, превращая ее в тепло. (Известно, что только проблема охлаждения машины представляет немалые технические трудности.) Что же мы получаем от машины? Мы получаем от нее результат переработки информации по заданной программе. Этот результат имеет определенную ценность, и мы могли бы ввести количественную меру еще не названной величины, характеризующей полезный эффект машины. Эта количественная мера, очевидно, связана со сложностью обработки и могла бы быть непосредственно выражена числом элементарных арифметических действий в двоичной системе счисления. (Заметим, что практической характеристикой машины является именно число элементарных операций в секунду. Мы обсуждаем, однако, принципиальную сторону дела.)

До введения определенной величины, характеризующей полезный результат работы вычислительной машины, невозможна никакая разумная оценка эффективности машины. {Прим. переа.)

Цифровая вычислительная машина работает с дискретными сигналами. Операция отсчитывания в точности соответствует задаче, обсужденной в разделах 6 и 7 главы 8. Если мы хотим использовать всю информацию, содержащуюся в непрерывной функции, то мы должны взять отсчеты с интервалом

Исходная функция практически определена только на конечном промежутке времени , но для получения точной математической задачи мы должны установить поведение функции от — до как мы сделали в разделе 6 главы 8. Предположим снова, что мы имеем периодическую функцию с периодом , удовлетворяющую условию (8.52). На вход машины поступают N отсчетов и если велико, то мы имеем:

(см. (8.51)). По этим отсчетам мы можем найти коэффициенты Фурье, и наоборот (см. 8.63) и (8.63а)):

Машина обрабатывает отсчеты и дает выходные значения

Вообще говоря, функции F представляющие программу вычисления, могут быть очень сложными. Если, однако, мы ограничим свое рассуждение линейной математической задачей, то операция будет представлена матрицей

и эта матрица выражает программу вычисления. Мы имеем N различных значений на входе, но мы можем иметь иное число значений на выходе. Возможно также, что имеется некоторая избыточность как во входных, так и в выходных данных. Если мы не хотим изменять ширину полосы системы в целом, то наши выходных данных потребуют иной длительности для непрерывной функции на выходе

которая восстанавливается по правилам главы 8 (см. (8.60)) и может быть снова разложена в ряд Фурье (как в (8.58))

Соотношение между коэффициентами Фурье а и отсчетами выходной функции в точности такое же, как в (19.3)

Из (19.4)-(19.9) мы можем непосредственно получить соотношение между входным спектром и выходным спектром а предполагая линейное вычисление, представляемое матрицей :

Если мы положим, что число выходных данных равно числу N входных данных, то формула упрощается. Матрица М есть квадратная матрица и

где Величина есть положительное или отрицательное целое число, а коэффициенты а выходного спектра являются рациональными функциями аргумента

Эти формулы полностью подкрепляют точку зрения, развитую в предыдущем разделе: машина обрабатывает информацию, но не производит никакой новой информации. Операция может выполняться в обратном порядке, если матрица несингулярна и может быть обращена. Это значит, что обратная матрица J может быть найдена

Обозначим через Лиц элементы этой обратной матрицы, представляющей программу обратного действия машины. Условия (19.13) означают:

и обратное действие машины представляется соотношением, сходным с (19.11):

Доказательство нетрудно и использует (19.14) совместно с (8.63b):

Подставляя (19.11) в (19.15), получаем (при ):

Суммирование по в последнем экспоненциальном множителе и использование (19.16) дает откуда Затем мы вычисляем сумму

и получаем в соответствии с (19.14). Последний шаг состоит в суммировании по , что дает согласно (19.16), так что окончательно мы получаем:

что и требовалось доказать.

Мы получили полное представление машины, работающей по линейной обратимой программе, причем информация не теряется, но и не создается заново. Небольшая потеря информации будет обусловлена округлением ошибок вычисления. Вычисление по линейной программе, представляемой прямоугольной матрицей М, будет терять информацию, если вводить избыточность, если Нелинейные программы (см. (19.5)) исследовать труднее.

Мы обсудим в следующем разделе несколько иную задачу, соответствующую возможному использованию вычислительной машины.