4. Обсуждение

Предыдущая постановка задачи дана впервые Шенноном, подробное обсуждение можно найти в диссертации Мандельброта.

Мы имеем общее решение (4.10), содержащее о постоянных коэффициентов . Эти коэффициенты определяются из начальных условий, которые мы сейчас обсудим. Рассмотрим (4.8) при малых значениях t. Один из членов соответствует

и мы должны положить , так как очевидно, что мы можем представить некоторые из сообщений общей длительностью при помощи символов длительностью . Большие значения не могут применяться. Это утверждение справедливо для всех значений у. Это условие удовлетворяется, если взять

Мы получаем, таким образом, о начальных условий, определяющих а произвольных коэффициентов . Значения функции для никогда не встретятся в (4.8) и не играют роли в нашей задаче.

Выделим положительный корень и запишем:

Первый член растет экспоненциально с t и является преобладающим. Остальные члены имеют колебательный характер. Если корень отрицателен, он дает попеременно положительные и отрицательные члены по мере того, как t увеличивается каждый раз на единицу (t всегда целое). Если — комплексный корень, то его комплексно-сопряженное также является корнем, и эта пара корней, вместе взятых, при возрастании t дает колебание.

Решение (4.15) устойчиво, если все эти колебательные члены имеют убывающую амплитуду, и неустойчиво, если амплитуда колебаний возрастает. Мы говорим, что наше решение

В первом случае амплитуда колебаний убывает, во втором случае амплитуда колебаний возрастает медленнее, чем преобладающий член.

Начальное условие (4.14) дает:

В первых двух случаях (абсолютная или относительная устойчивость) мы можем во многих задачах игнорировать колебания и удерживать в (4.15) только преобладающий член:

где .

Итак, представляет число сообщений, полная длина которых равна t. Но нас может интересовать число сообщений, длина которых меньше или равна t. Имея в виду,

что t всегда целое, имеем:

Мы не включили в сумму слагаемое s = 0, так как сообщение нулевой длины не имеет смысла. Используя соотношение

получаем:

где

Мы можем переписать этот результат следующим образом:

где

Число сообщений, длина которых меньше чем t, или на t, содержит преобладающий член с колебательные члены и постоянную . Отбрасывая колебательные члены, имеем:

что является хорошим приближением в устойчивых случаях

для больших t. Мы получаем, таким образом,

где