ГЛАВА 8. АНАЛИЗ СИГНАЛОВ: МЕТОД ФУРЬЕ И ПРОЦЕДУРЫ ОТСЧЕТОВ

1. Ряд Фурье

В последующих главах нам понадобятся некоторые математические результаты, относящиеся к анализу различного рода сигналов. Настоящая глава посвящена систематическому обзору математических методов и их взаимоотношений.

Начнем с разложения Фурье периодических функций. Пусть периодическая функция с периодом . Эта функция может быть представлена суммой гармонических составляющих. В комплексной экспоненциальной форме

где

Для вещественной имеем:

где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. Для вычисления интегралов (8.2) было предложено много практических методов. Рассмотрим метод конечных интервалов ввиду

его тесной связи со многими проблемами, рассматриваемыми в дальнейшем. Выберем N равноотстоящих точек на интервале , соответствующем одному периоду

где — целое, (8.4) и вычислим вместо интеграла (8.2) сумму

Заменяя рядом Фурье (8.1), получаем:

Но

так как во втором случае суммирование ведется по последовательности углов равномерно распределенных между 0 и Не равные нулю члены суммы (8.6) соответствуют

где q — положительное или отрицательное (или равное нулю) целое, так что

Коэффициент вычисленный из (8.5), есть сумма коэффициентов с индексами . Кроме того, коэффициенты периодичны относительно n с периодом N. Эти соотношения представляют частный пример общего результата.

Интересен случай, когда для вещественной функции можно пренебречь гармониками выше некоторого предела :

Тогда можно положить:

откуда

Первые членов дают в точности первые коэффициенты Фурье , а следующие члены просто повторяют эти коэффициенты с периодом N (рис. 8.1) в области более высоких частот.

Рис. 8.1. График, показывающий равенство коэффициентов Фурье и коэффициентов конечных сумм при и периодичность как функции n для ббльщих значений n.

Очень важный результат известен под названием равенства Парсеваля, справедливого при условии, что функция вещественна, ограничена и интегрируема на интервале , соответствующем одному периоду:

Это равенство легко доказывается заменой одного из в подынтегральном выражении его разложением Фурье (8.1):

Во многих приложениях величины, фигурирующие в (8.12), представляют энергию, и, таким образом, равенство Парсеваля показывает, что энергия за период m может быть подсчитана как путем интегрирования так и путем суммирования энергий составляющих Фурье.