7. Пример, показывающий наименьшую негэнтропию, необходимую для наблюдения

Обсудим упрощенный пример, на котором действительно возможно показать существование наименьшей негэнтропии, требуемой для наблюдения. Рассмотрим снова задачу раздела 4 главы 13 об определении местоположения частицы при помощи луча света. Возьмем последовательность световых импульсов длительностью с интервалом между импульсами (рис. 14.1). Полный период есть и функция, представляющая последовательность импульсов, запишется в виде

(14.45)

Рис. 14.1. Световые импульсы длительностью повторяемые с интервалом . Свет выключен на протяжении интервала

Такая последовательность импульсов требует полосы частот, определяемой в основном длительностью короткого импульса. Если то имеем согласно (13.32)

Вместо импульсов рассмотрим обращенную последовательность с тем же периодом :

(рис. 14.2). Обе функции и F имеют, очевидно, одинаковый спектр, хотя одна из них представляет короткие импульсы с длинными интервалами, а вторая — длинные импульсы с короткими интервалами. Наивысшая частота v в обоих случаях зависит от более короткого интервала или .

Рис. 14.2. Световые импульсы длительностью повторяемые с интервалом . Этот график является обращением рис. 14.1.

Эта наивысшая частота имеет минимум, когда и F совпадают, т. е. при

Этот случай соответствует, очевидно, наименьшему количеству энергии, требуемому для наблюдения, и, следовательно, наименьшему увеличению энтропии. Рассмотрим ситуацию более внимательно.

Сначала мы можем легко вычислить информацию. Мы применяем последовательность импульсов (рис. 14.1) и наблюдаем рассеянный молекулой свет. Это значит, что молекула оказывается в луче света на протяжении одного из импульсов Полное априорное число возможностей пропорционально а после получения информации число возможностей пропорционально , Пользуясь формулой (1.6), находим информацию

Чем меньше длительность импульса , тем выше точность и тем больше информация.

Для того чтобы подсчитать используемую при наблюдении энтропию, мы исследуем сначала спектр нашей

функции (14.45)

(14.51)

Симметрия относительно и очевидна и соответствует (14.48). Амплитуды имеют наибольшее значение для малых и и убывают постепенно до очень малых значений. Положим, что , тогда первая равная нулю амплитуда получается при

Теперь мы должны вспомнить о существовании шума. Очень малые амплитуды в спектре (14.51) будут совершенно стерты вследствие искажения сигнала шумом. Предположим, что мы можем устранить эти высокие частоты и сохранить только конечный спектр, простирающийся до частоты (половина частоты, при которой амплитуда первый раз обращается в нуль). Итак, примем:

(14.52)

Случай требует особого внимания. Условие (14.52) дает для этого случая что означает, что мы применяем приближение

с одним членом вместо прямоугольной ломаной (рис. 14.3).

Для того чтобы преодолеть тепловой шум, каждая из сохраняемых составляющих должна иметь энергию порядка .

В общем, полная энергия конечного спектра равна

где численные множители имеют порядок единицы. Последний член выражает энергию, которую должна иметь постоянная составляющая, чтобы превзойти .

Рис. 14.3. Приближение для системы импульсов при двумя первыми членами ряда Фурье:

Рис. 14.4. Информация и связанное с ней увеличение энтропии в функции при .

Эта энергия рассеивается и поглощается (например, в фотоэлементе) за время наблюдения, что дает увеличение энтропии

(14.54)

изменяющееся в соответствии с (14.52). Кривая имеет минимум при и общий ее вид показан на рис. 14.4, где нанесена также кривая (см. (14.50)).

Этот пример снова доказывает, что увеличение энтропии всегда больше полученной информации и что количество энтропии, требуемой для наблюдения, не может быть ниже определенного предела, равного в нашем примере .