4. Обобщения формулы Найквиста

Мы обосновали формулу Найквиста для случая электрического контура с сопротивлением R. Шум генерируется только в сопротивлении, где имеется связь между электрическим током и тепловым движением в веществе проводника. В индуктивностях и емкостях такой связи нет, и они не дают добавочного шума. В полном сопротивлении

(11.31)

только составляющая R дает шум.

Вместо электрической системы мы могли бы рассмотреть механическую систему с вязким трением. Мы уже пользовались аналогией механических и электрических колебаний в разделе 5 главы 10. Эта аналогия также применима и к формуле Найквиста. Объединяя результаты главы 10 (см. (10.18), (10.25), (10.30), (10.33) и (10.34)) и настоящей главы, мы можем установить более общие соотношения для любой системы с затуханием, выражаемым величиной R:

(11.32)

где X — импульс силы за время t;

где х — смешение при свободном броуновом движении за время t;

(11.34)

есть средняя кинетическая энергия на степень свободы и

(11.35)

есть средний квадрат сил с частотами между v и .

Все эти результаты имеют весьма широкое применение при низких частотах. Де-Хаас-Лоренц рассмотрела большое количество примеров и приложений формул (11.32), (11.33) и (11.34)). Вопрос о применении (11.35) к ряду неэлектрических задач тщательно исследовал Каллен, доказавший полную общность этой формулы и рассмотревший случай задач с различного рода ограничениями. Эти результаты показывают важные применения термодинамики к необратимым процессам.

При очень высоких частотах ситуация существенно меняется. Прежде всего, нужно учесть, что многие новые степени свободы могут начать играть заметную роль. Так, в электрическом контуре появятся и будут возбуждаться тепловым движением высшие формы колебаний, обусловленные распределенными емкостями и индуктивностями. В механической системе будут возбуждаться различные виды поперечных колебаний. К тому же, существуют квантовые ограничения. Предыдущая теория может применяться только при низких частотах, для которых

(11.36)

где h — постоянная Планка. Для высоких частот формула (11.34), как известно, уже не применима.

Средняя энергия осциллятора равна уже не kT, а

Аналогичные поправки должны быть внесены и в другие формулы.

Физическая картина ясна: вязкое сопротивление указывает на связь данного вида движения с тепловым движением. Эта связь вызывает затухание движения и превращает его энергию высокого качества в тепло (энергию низкого качества). Но это преобразование энергии не может все время продолжаться, так как оно привело бы систему в состояние полного покоя, а мы знаем, что в системе при температуре Т должна существовать та или иная форма броунова движения. Поэтому та самая связь, которая обусловливает затухание, должна также порождать случайные силы, действующие на систему и поддерживающие ее в состоянии теплового движения). Это и является исходным положением при выводе формул (11.32) или (11.35). Объяснение в случае броунова движения частицы в воде очень просто: следствием столкновений частицы с молекулами воды является вязкое трение. Случайные

столкновения молекул воды с частицей создают случайные силы, поддерживающие тепловое движение частицы. Положение аналогично во всех примерах, которые можно себе представить.