4. Броуново движение

Вернемся к обсуждению броунова движения; будем следовать трактовке Лоренца. Напомним некоторые численные значения:

Рис. 10.6. Координаты x, у и z частицы, погруженной в вязкую жидкость.

Рассмотрим частицу, погруженную в среду с координатами, показанными на рис. 10.6. Мы ограничимся рассмотрением движения только вдоль оси . Так как движение случайно, то движение в направлении оси х не зависимо от движений в направлениях у и z.

Вводя коэффициент вязкого трения w, запишем уравнение движения частицы с массой

(10.17)

где означает случайную силу, действующую на частицу. Сила должна быть случайной, так как на протяжении любого промежутка времени (разумно выбранной малости) будет происходить очень большое число случайных столкновений частицы с молекулами жидкости.

Рассмотрим теперь временной интервал , настолько малый, чтобы изменение скорости частицы на протяжении этого интервала было мало. Тогда полный импульс силы, действующей на частицу за время , равен

(10.18)

Скорость частицы равна при и при ; интегрирование (10.17) по интервалу дает:

(10.19)

Перегруппировывая члены, имеем:

(10.20)

Так как полностью случайна, можно считать:

(10.21)

но надо учесть, что не равно нулю. Возведем (10.20) в квадрат:

и заметим, что t очень мало, так что

Усредняя затем (10.22) и учитывая, что мы положили X

равным нулю, найдем среднее значение :

Наша система (частица + жидкость) имеет температуру Т, и к ней применимы соотношения кинетической теории, именно:

Поэтому

Подставляя (10.24) в (10.23) и разрешая относительно X получаем для этой величины

(10.25)

Итак, средний квадрат импульса силы не равен нулю. Далее, переписывая (10.23) в виде

мы замечаем, что представляет потерю кинетической энергии частицы при ее движении в вязкой среде, тогда как представляет компенсирующую энергию, доставляемую частице случайными столкновениями с молекулами.

Итак, мы наблюдаем передачу энергии в двух направлениях:

Кинетическая энергия частицы — движение молекул.

Движение молекул кинетическая энергия частицы.

Далее, мы видим, что если вязкое трение велико, то и компенсирующий перенос энергии велик. Большое вязкое трение означает сильную связь между частицей и окружающей ее вязкой жидкостью, а следовательно, и мощные столкновения, соответствующие большим случайным импульсам X. Работа случайных сил производится за счет энергии теплового движения (т. е. теплоты) и снова превращается в теплоту через посредство вязкого трения.

Для нахождения среднеквадратичного смещения частицы мы несколько упростим рассуждение, предположив, что при а при Предположим также, что после момента силы, действующие на частицу, отсутствуют; иначе говоря, мы выделяем одно из столкновений и рассматриваем его, а также каждое из других столкновений как индивидуальное событие. Тогда после движение затухает, и мы можем записать:

(10.26)

Разрешая относительно , находим;

Но так как мало, мы можем взять пределы для экспоненциальной функции 0 и ; поэтому из (10.20) при получаем:

(10.27)

Величина представляет смещение частицы вследствие импульса X, полученного в момент . Это есть вид случайного блуждания, так как потому, что . Но ; возводя в квадрат и усредняя (10.27), получаем:

Подстановка (10.25) в (10.28) дает:

(10.29)

Для большего промежутка времени t, содержащего много малых интервалов , квадраты смещений суммируются как независимые величины, и мы имеем:

(10.30)

Этот результат был проверен экспериментально путем наблюдения зависимости от времени положений коллоидальных частиц в суспензии.