5. Тепловое движение в электрической цепи

Обратимся теперь к проблеме, очень сходной с броучовым движением: к случайному течению зарядов в электрической цепи. Рассмотрим цепь рис. 10.7. Она состгит из индуктивности, сопротивления и амперметра для измерения тока; вся система находится при некоторой температуре Т.

Рис. 10.7. Цепь, использованная для рассуждения о шуме, обусловленном тепловым движением. Индуктивность, сопротивление и амперметр включены последовательно, и вся схема поддерживается при температуре Т.

Система имеет одну степень свободы и, следовательно,

(10.31)

Ток флуктуирует случайным образом, . Если записать уравнение напряжений

где F означает случайную э.д.с., действующую в цепи, то, как видим, это уравнение совпадает с уравнением движения частицы, совершающей броуново движение (см. (10.17)). Более того, механизм обмена энергией сходен в обоих случаях.

Электрон отдает свою кинетическую энергию молекулам сопротивления, а столкновения молекул дают кинетическую энергию электрону. Компенсация выражается теперь через средний квадрат импульса случайной э.д.с., и мы получаем соотношение, сходное с (10.25):

(10.33)

Заряд q занимает место смещения аналогично (10.30) имеем:

(10.34)

Итак, имеется два источника шума в электрической цепи: тепловой шум, обусловленный тепловым возбуждением и флуктуациями заряда в таких элементах цепи, как сопротивления, и дробовой эффект в лампах. В дальнейшем мы рассмотрим вопрос о спектральном составе теплового шума.

Можно построить несколько более подробную модель, чтобы учесть возрастание со временем среднеквадратичного значения импульса силы в случае броунова движения (или э.д.с. в случае электрической цепи).

Рис. 10.8. Случайная сила есть ступенчатая функция, имеющая постоянное значениена протяжении каждого интервала от .

Предположим, что сила изменяется во времени случайно, как показано на рис. 10.8, но что она остается постоянной на протяжении каждого интервала ( — очень мало, ). Сила случайна, корреляция отсутствует и поэтому

Находим:

и

(10.36)

Усредняя, получаем:

Но из (10.35), учитывая, что средние значения взаимных членов равны нулю, имеем:

(10.37)

Подставляя получаем:

(10.38)

и мы показали, что средний квадрат импульса силы (или ) возрастает пропорционально времени, что согласуется с (10.25) и (10.33) и поясняет механизм этого возрастания.

Приложение

В разделе 2 обсуждалась задача о случайном блуждании и было получено выражение для вероятности достижения точки после n шагов (см. (10.3)):

Исследуем теперь соотношения, когда число шагов n становится очень большим, тогда как остается конечным. Применяя формулу Стирлинга

после некоторых преобразований получим:

Члены знаменателя имеют вид и стремятся к е при уменьшении , но нам нужно лучшее приближение. Воспользуемся разложением

откуда

что дает при :

Аналогично

и, наконец,

— гауссово распределение вероятностей. Нужно помнить, что m имеет всегда ту же четность, что и n. Для данного n расстояние между последовательными точками есть (см. рис. 10.3). Рассмотрим, к примеру, случай, когда n и m четны:

Пренебрежем членом с в знаменателе и запишем:

Сравним этот результат со стандартной формулой нормального распределения:

где — стандартное отклонение. В нашей формуле для

что соответствует общему соотношению (10.7).