5. Проблемы, требующие высокой надежности

Наши предыдущие рассуждения основывались на допущении, что мы можем удовлетвориться в наших экспериментах вероятностью ошибок, составляющей 50%. Этот очень низкий предел был выбран для того, чтобы получить наименьшее

значение увеличения энтропии, связанного со всяким измерением. Представляет интерес распространить исследование на проблемы, требующие большей надежности, и выяснить, как возрастает энтропийная цена измерения.

Подчеркнем здесь различие между надежностью и точностью. Точность (относящиеся к ней вопросы подробно обсуждаются в главе 15) может быть определена следующим образом: мы измеряем величину в диапазоне I с возможной погрешностью ; мы полагаем, что величина

(14.29а)

определяет точность измерения. Если, например, мы пользуемся метром, подразделенным на миллиметры, . Для мерки длиной в один ярд с делениями через дюйма .

Надежность соответствует другой задаче: если дана экспериментальная методика с определенными требованиями в отношении точности, то всегда существует возможность, что тепловые флуктуации дадут ложные отсчеты и неправильные показания. Это будет происходить с определенной вероятностью.

Рассмотрим теперь задачи, в которых вероятность ошибки вследствие теплового движения будет уменьшена с принятого нами ранее значения

Условие Айзинга (см. (14.3), (14.4), (14.13) и соответствует значению .

Начнем с эксперимента с низкочастотным осциллятором, в котором делается один-единственный отсчет. Рассуждение раздела 2 здесь непосредственно применимо. Мы должны выбрать предел q, дающий

согласно (14.5а), и мы получаем:

Предел энергии резонатора есть . После того как наблюдение сделано, эта дополнительная энергия рассеивается в затухании резонатора (см. (14.14)), в результате чего энтропия термостата возрастает (см. (14.15)) на

Энтропийная цена измерения возрастает с увеличением надежности по логарифмическому закону.

Рассмотрим теперь эксперимент, в котором делается много наблюдений. Это расширит результаты раздела 4. Наше предыдущее равенство (14.22) заменяется теперь на

где Р — вероятность того, что все положительные отсчеты, взятые по из резонаторов, являются истинными, и — предельное значение энергии каждого из резонаторов. Предыдущий результат (14.31) соответствует и

Для больших значений и можно получить асимптотическое выражение. Логарифмируя (14.32), имеем:

откуда

или

Коэффициент для низких частот может изменяться практически от 0,7 до нескольких сотен. Эта формула может давать хорошее приближение даже при малых поскольку она дает точное значение при . Энергия, рассеиваемая в конечном счете в резонаторах, равна , а полная энтропийная цена составляет:

В случае высоких частот дело обстоит иначе. Для наблюдения достаточно одного кванта, так как высокие частоты практически отсутствуют в излучении черного тела:

(14.36)

Для коэффициента А имеем:

(14.37)

Переход от низких частот к высоким более труден и зависит от частных особенностей рассматриваемой задачи.

Во всех примерах, обсужденных до сих пор в этой главе, мы предполагали, что наблюдение производится над некоторым числом n осцилляторов, поддерживаемых при температуре Т в термостате. В некоторый момент мы наблюдаем энергии этих осцилляторов, а затем равновесие температур между осцилляторами и термостатом постепенно восстанавливается. Некоторое количество энергии перераспределяется, и энтропия термостата возрастает. Такие условия являются простейшими для обсуждения, однако случай высоких частот требует более детального исследования.