3. Измерения длины с высокой точностью

В предыдущем рассуждении предполагалась низкая точность, когда погрешность измерения длины не очень мала, так что может применяться свет низкой частоты. Для получения очень малой погрешности необходимо применять

свет высокой частоты с малой длиной волны с тем, чтобы луч освещал одновременно только один интервал. Сосредоточение света на одном-единственном интервале практически возможно только при условии, что длина волны меньше :

На рис. 15.3 показаны схематически три различных осветительных устройства. В первом из них используется волновод, толщина которого d равна .

Рис. 15.3. Три устройства для сосредоточения света на интервале : А. Волновод толщины ; В. Линза с апертурой ; С. Экран с апертурой ширины .

Этот волновод имеет нижнюю граничную (критическую) частоту, соответствующую и может передавать частоты только выше граничной. Это и есть в точности условие (15.9). По выходе из волновода свет расходится под углом тем меньшим, чем выше частота. Освещение может быть резко ограничено на интервале . В схеме В применена линза с апертурой 6. Ширина фокального пятна согласно известной формуле для разрешающей способности равна

Это снова приводит к условию (15.9). В схеме С делается попытка применения большой длины волны и плоского экрана с отверстием размера но вследствие дифракции

по другую сторону экрана свет рассеивается на соседние интервалы, и сосредоточение света на одном-единственном интервале этим методом недостижимо.

Таким образом, для резкого сосредоточения нужно применять для наблюдения частоту, удовлетворяющую условию:

Определим теперь характеристическую длину, относящуюся к температуре Т, при которой поддерживаются резонаторы, примененные для наблюдения,

где

Здесь взято наименьшее значение v, удовлетворяющее условию (15.10).

Напомним, что условия раздела 2 требуют низкой частоты, так что

и, следовательно,

Это означает, что точность может быть низкой, поскольку длина интервала ограничена со стороны малых значений.

С другой стороны, для получения высокой точности требуется

для чего нужно (см. (15.11)), чтобы было

Для обсуждения случая высоких частот нам потребуется, однако, более точное утверждение по поводу величины . На основании предыдущего мы можем принять, что при высоких частотах

где — предельная энергия осцилляторов в низкочастотном случае. Если считать большим (т. е. применять много резонаторов), то это условие принимает вид

В этом высокочастотном случае мы можем подсчитать для условий, описанных в конце раздела 2 (наблюдаются резонаторов, только один отсчет положителен). Так как поглощение одного-единственного кванта достаточно для одного положительного отсчета, то имеем:

как и в низкочастотном случае. В действительности в рассматриваемом случае увеличение энтропии может быть много больше, так как v может быть очень велико. Не следует, однако, забывать рассуждения раздела 6 главы 14 по поводу возможности уменьшения доли рассеянной энергии . Мы не можем получить результаты лучшие, чем в низкочастотном случае, так как рано или поздно наблюдение должно быть сделано при помощи низкочастотного устройства, если не высокочастотного. Обобщенный принцип Карно, таким образом, удовлетворяется, и мы обсудим позднее роль, которую играет необходимая для эксперимента большая энергия. Сходное положение имеется и в других примерах.

Остающийся случай требует специального обсуждения в каждой отдельной задаче. Если, например настолько мало, что равенство (15.14а) применимо, а (15.14) — не применимо, то мы имеем ситуацию, требующую подробного исследования, основанного на точных выражениях различных средних величин, необходимых для получения значения .