8. Флуктуации
Полученные формулы понадобятся нам при обсуждении вопроса о точности физических измерений. При любой данной температуре Т результатом теплового движения является беспорядочное движение всех частей прибора, что делает невозможным измерение какой-либо величины с беспредельной точностью.
Тепловое движение есть причина броунова движения, шума в электрических цепях, шумового фона в акустике и т. д. Все эти явления будут рассматриваться в связи с применением теории информации к проблемам физики. Мы отметим очень интересную связь между информацией и энтропией и придем к систематическому обсуждению фундаментальных ограничений, встречаемых в физических экспериментах.
Тепловая энергия не влияла бы на точность измерений, если бы она оставалась постоянной. Измерения затрудняются всегда существующими флуктуациями, проявляющимися в том, что истинная энергия системы в данный момент не может быть предсказана и может сильно отличаться от среднего значения.
В предыдущем разделе мы отмечали различие между наивероятнейшим и средним значениями энергии. Исследуем флуктуации в квантованном осцилляторе. В некоторый момент времени система имеет
квантов с флуктуацией 
относительно среднего значения 
. Подсчитаем среднее значение 
При усреднении учтем, что 
, так как 
— среднее значение 
, так что
Если 
известно, то средний квадрат флуктуации 
легко найти из (9.49). Так как вероятности всех квантованных состояний известны (см. (9.37)), то нетрудно подсчитать я. Используя (9.43), запишем:
Выполняя дифференцирование и подставляя значение В из (9.40), получаем:
Сравнение (9.49) с (9.51) с использованием (9.44) дает:
Этот знаменитый результат, полученный впервые Планком и Эйнштейном, связывает флуктуации со средними значениями. Для низкочастотного осциллятора 
среднее число квантов n очень велико, и мы имеем просто
Это же соотношение может быть выражено через флуктуацию энергии 
:
где 
— средняя энергия осциллятора.
При низких частотах
корень квадратный из среднего квадрата флуктуации равен средней энергии, или, грубо говоря, флуктуации имеют тот же порядок величины, что и средняя энергия.
Для высоких частот 
среднее значение 
мало, 
еще меньше, так что
или
При высоких частотах флуктуации энергии в среднем много больше, так как 
меньше, чем 
, а поэтому
Флуктуации относительно больше при высоких частотах (см. (9.57)), чем при низких (см. (9.54)). Этот результат типичен для квантовых явлений.
Рассмотрим теперь систему из N гармонических низкочастотных осцилляторов. Полная средняя энергия 
равна
Наблюдаются флуктуации 
(9.60)
которые независимы в каждом из N осцилляторов; поэтому
в соответствии с (9.54) и (9.55).
