2. Случайное блуждание

Начнем со статистической задачи, имеющей большое значение для всех примеров беспорядочного движения. Частица может перемещаться вдоль прямой, совершая через равные промежутки времени равные шаги либо вправо, либо влево. Обозначим единицу смещения (шаг) через l, а моменты, в которые происходят перемещения, через 1, 2, 3 и т. д.

Рис. 10.3 дает общую схему. Диаграмма воспроизводит известный треугольник Паскаля; число возможных путей, приводящих к данной точке после шагов, есть

если расстояние точки от начала равно

Рис. 10.3. Случайное блуждание с шагами одинаковой длины воспроизводит треугольник Паскаля для биноминальных коэффициентов. Цифры означают число путей, ведущих к данной точке. Общее число случаев равно .

Вероятность достижения точки выражается отношением числа путей, ведущих к точке, к общему числу возможных путей, равному, очевидно, так как каждый путь ветвится на два на каждом шаге:

Точки , которые могут быть достигнуты после n шагов, имеют в силу (10.2) ту же четность, что и n. Среднее смещение после n шагов равно, очевидно, нулю, так как движения вправо и влево равновероятны. Средний квадрат смещения возрастает с числом шагов. Схема рис. 10.3 дает:

Эти результаты подсказывают закон:

который можно доказать методом индукции; именно, нужно показать, что если

то

Для этого заметим сначала, что если положение достигается за шагов, то положение после n шагов должно было быть либо , либо , причем обе эти возможности равновероятны. Поэтому

(10.8а)

Напомним, что оба индекса в имеют одинаковую четность, так что при суммировании по какому-либо индексу не равные нулю слагаемые дают только значения индекса через один. Учитывая это обстоятельство, и используя (10.8) и (10.8а), получаем для суммы (10.7а):

Положим в первой сумме , а во второй . Тогда

Заметим теперь, что

так что остаются только две суммы, которые могут быть объединены:

на основании (10.7) и вследствие того, что величины являются вероятностями, сумма которых по k равна единице. Итак, равенство (10.7а) доказано, что и требовалось.

Распределение точек расширяется со временем, и мы получаем для среднеквадратичного смещения (при одинаковых шагах длиной )

(10.10)

Можно доказать (см. Приложение), что при увеличении числа шагов распределение (10.3) сходится к гауссову распределению.

Мы увидим позднее, как этот результат прилагается к броунову движению. Мы можем также применить его для округления ошибок в длинном вычислении. При этом мы можем взять экстремальный случай , при котором среднеквадратичная ошибка

Иначе говоря, мы полагаем, что последний знак лежит в интервале . С другой стороны, наибольшая ошибка пропорциональна , что соответствует весьма маловероятному случаю сложения всех ошибок.

Наши рассуждения можно распространить на случай шагов разной длины. При этом мы имеем случайное распределение около среднего:

(10.11)

Последняя формула больше подходит для округления ошибок.