5. Примеры

Покажем действие метода на нескольких примерах.

А. Все символы имеют одинаковую длину

В этом случае мы берем общему числу символов длины . Равенство (4.12) дает:

(4.25)

Имеется один вещественный положительный корень и следовательно,

Этот канал обладает абсолютной устойчивостью без каких-либо колебаний.

В. Символы двух различных длин: 1 и «сигма»

В. 1. Степень характеристического уравнения равна . В общем случае

В. 2. Простейшие соотношения получаем при :

Корни этого уравнения равны

Так как , то относительная устойчивость обеспечена. Для абсолютной устойчивости необходимо

Это условие выполняется для канала с двумя символами:

В. 3. Рассмотрим случай, когда длинные сигналы втрое длиннее коротких:

Характеристическое уравнение имеет вид

Берем

и получаем:

где . Это — хорошо известное уравнение. Так как величина положительна, то имеется один положительный и два комплексных корня:

где

Мы выбираем для А к В вещественные кубические корни, так что F, вещественно, тогда как и комплексно-сопряженные. Относительная устойчивость получается при

Легко подсчитать:

Но

и таким образом, условие (4.34) относительной устойчивости выполнено. Для абсолютной устойчивости требуется:

— условие, выполняемое, когда не слишком малы. Имеем:

откуда

Но меньше, чем , так что из (4.35) следует легко выполнимое уравнение:

С. По одному симнолу каждой длины

В этом случае

при длинах

Характеристическое уравнение (4.12) принимает вид

или

Умножая на , получаем:

Это уравнение имеет лишний корень . Уравнение (4.37) имеет только один положительный корень в промежутке

между 1,62 (случай , (см. (4.30)) и 2 (для ). Основываясь на (4.38), мы запишем:

(4.39)

Имеется один отрицательный корень, когда а четно, а при нечетном о нет отрицательных корней. Это легко показать, применяя к (4.38) декартово правило знаков:

Все остальные корни комплексны. Когда четно, отрицательный корень находится между (что соответствует и, следовательно, не влияет на устойчивость решения.

При больших о комплексные корни близки к корням степени из единицы; запишем:

где — целое, а — малая величина. Это значение X удовлетворяет (4.38), если в выражено приближенным соотношением:

Это выражение дает для малое значение, если велико. При этом комплексные корни по абсолютной величине будут близки к единице и, следовательно, относительная устойчивость обеспечена.