2. Метод Найквиста

Рассмотрим теперь вывод этой формулы самим Найквистом. Прежде всего, мы должны построить цепь, способную передавать непрерывный диапазон частот, например длинную линию (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Длинная линия длины , нагруженная на концах сопротивлениями и , с ключами для замыкания сопротивлений накоротко.

Пусть линия имеет длину l и волновое сопротивление z. Замкнем линию на концах на сопротивления и пусть Вся схема находится при некоторой температуре Т. Каждое сопротивление является источником тепловой так что сигналы посылаются из и поглощаются в и обратно. Эти сигналы покрывают широкую полосу частот. Когда достигнуто равновесие, мы замыкаем накоротко оба конца линии, и так как должно поддерживаться тепловое равновесие, то имеющиеся в линии сигналы уже более не поглощаются (и не посылаются), а лишь отражаются от обоих концов линии. Условие равновесия для замкнутой накоротко линии состоит в том, что

имеющиеся сигналы образуют стоячие волны с узлами на обоих короткозамкнутых концах (рис. 11.2). Это — собственные частоты линии, определяемые соотношением

(11.13)

где каждое значение n означает одну собственную частоту и, следовательно, одну степень свободы линии.

Так как линию можно представить себе в виде гармонического осциллятора для каждой собственной частоты, то средняя энергия для каждой собственной частоты (на каждую степень свободы) должна равняться сумме потенциальной и кинетической энергии, каждая из которых равна . Таким образом, средняя энергия на степень свободы равна .

Рис. 11.2. Стоячие волны на линии при замкнутых накоротко сопротивлениях.

Чтобы получить энергию в линии, приходящуюся на частотный интервал , мы должны подсчитать соответствующее число степеней свободы . Из (11.13):

так как , где с — скорость волны. Поэтому

(11.15)

есть число степеней свободы в част отном интервале . Полная средняя энергия короткозамкнутой линии, приходящаяся на интервал , равна

(11.16)

Эта энергия была первоначально доставлена линии двумя равными сопротивлениями . Полная энергия, доставленная каждым сопротивлением, равна в частотном интервале .

Рис. 11.3. Сопротивление вместе с линией заменено волновым сопротивлением

Чтобы найти э.д.с., развиваемую в каждом сопротивлении, подсчитаем среднюю мощность Р, т. е. энергию в единицу времени:

так как у есть время пробега сигнала от . Средняя мощность, выделяемая в каждом сопротивлении и посылаемая в линию, равна, таким образом,

Но каждое сопротивление, как источник тепловой э.д.с., работает на нагрузку (рис. 11.3), так как нагрузка состоит из сопротивления R плюс волновое сопротивление линии Z = R. Таким образом,

и мощность, выделяемая в Z, равна

(11.18)

откуда согласно (11.17)

(11.19)

или

(11.20)

что совпадает с ранее полученным результатом.