12. Исследование кристаллов рентгеновыми лучами

Вопросы, обсуждавшиеся в предыдущих разделах, тесно связаны с анализом кристаллов при помощи рентгеновых лучей. Кристалл представляет собой трехмерную периодическую структуру с основной ячейкой , и периодическая

функция в этой решетке выражает плотность электронов. Интенсивность рентгеновых лучей, отраженных в различных направлениях, определяется квадратами модулей коэффициентов Фурье в тройном разложении (8.97), но соответствующие фазы не могут быть найдены по экспериментальным данным . Более того, существует ограничение числа коэффициентов, которые могут быть получены из экспериментов с рентгеновыми лучами данной длины волны X. Синусоидальное распределение электронных плотностей с длиной волны отражает рентгеновы лучи, падающие под углом со, если выполнено условие Брэгга:

(8.113)

Если поворачивать кристалл в пучке рентгеновых лучей, то можно обнаружить все значения , удовлетворяющие условию

(8.114)

В методе Дебая—Шерера получаются сходные ограничения. Мы приходим к задаче В раздела И. Функция F при этих условиях имеет не более чем N степеней свободы (см. (8.108)), и мы получаем только данных из опытов с дифракцией рентгеновых лучей. Паттерсон предложил рассматривать функцию

Это — попросту автокорреляционная функция (8.77) в трех

измерениях. Заменяя в (8.115) ее разложением Фурье (8.97), получаем:

Эта формула является прямым обобщением (8.78) и содержит только интенсивности СС*, но не фазы. Метод Паттерсона, предложенный независимо, представляет собой непосредственное развитие автокорреляционной функции Винера. Соотношения симметрии, обсужденные в разделе 9, применимы и здесь, и функция Паттерсона содержит только N независимых параметров. Для представления этой функции при помощи отсчетов необходимо иметь в силу симметрии только отсчетов на протяжении половины элементарной кристаллической ячейки.

Другой мощный метод исследования предложен Пепинским под названием конволюции. Практически он соответствует преобразованиям, обсужденным в разделе 10, обобщенным для трех измерений. Этот метод оказался исключительно полезным при исследовании сложных структур. Мы рекомендовали в конце раздела 10 применение импульсов (8.25)-(8.28) в качестве ядер линейных преобразований. Пепинский называет функцию (8.26) ядром Дирихле и обратную функцию (8.27) — ядром Фейера с принятием для функции и для спектра ( и С заменяют друг друга). Пепинским предложены и другие ядра и обсуждены многие важные приложения.

Итак, исследование кристаллов рентгеновыми лучами представляется в виде трехмерной задачи, сходной с анализом сигнала в одном измерении.