5. Соотношение неопределенности для времени и частоты

Общее условие (8.30а) представляет собой специальный случай принципа неопределенности квантовой механики. Согласно этому принципу переменная q и ее сопряженный импульс р не могут быть одновременно измерены с любой точностью, но существует соотношение между ошибкой в определении q и ошибкой в определении р. Это соотношение таково:

где а берется иногда равной постоянной Планка h, а иногда равной постоянной Дирака Оба значения настолько малы, что любое из них приемлемо с точки зрения эксперимента.

Известно, что в механике энергия Е есть импульс, сопряженный переменной времени t, так что согласно (8.37)

Энергия колебаний частоты v есть , и, следовательно,

и если воспользоваться эмпирическим условием (8.30а), то получим:

Поэтому следовало бы положить , а не . Мы еще обсудим этот пункт в конце данного раздела.

Предварительно, однако, приведем рассуждение, при помощи которого в волновой механике вводится принцип неопределенности . Вычисляется волновая функция f(t), но не предполагается, что она имеет какой-либо прямой физический смысл. Вместе с тем предполагается, что квадрат дает плотность вероятностей для переменной t. Точнее говоря, вероятность того, что значение t окажется между t и , определяется как

где Е есть полная энергия волны, определяемая (8.29), из которого следует:

(8.40а)

Аналогично, вероятность того, что частота заключена между v и равна

и

(8.41а)

Теперь среднее время появления сигнала есть

и средняя частота

Уклонения от этих средних значений определяются

соотношениями

Средние квадраты этих уклонений равны

Мы определяем средние ошибки М по времени и по частоте как

и выбираем постоянную а так, чтобы удовлетворялось условие (8.30а). Иначе говоря, мы выбираем а так, чтобы было

(8.45а)

С помощью (8.40), (8.41) и (8.44) получим вместо (8.45а)

Без потери общности можно положить тогда .

Первый шаг в определении а состоит в доказательстве тождества

что можно сделать при условии, что как так и дифференцируемы и достаточно быстро убывают. Интеграл Фурье (8.21) дает:

и, таким образом,

Интеграл есть не что иное, как (см. (8.22)), и тождество (8.47) этим доказано.

Применяя (8.47), можно переписать (8.46) в виде

Для дальнейшего воспользуемся неравенством Шварца)

где

Вычисляя второй интеграл по частям и учитывая, что стремится к нулю на бесконечности, получаем:

Интегрируем также правую часть неравенства Шварца по частям:

и неравенство Шварца принимает теперь вид

Сравнение с (8.48) показывает, что нужно взять

т. е. мы определяем:

Интересно сравнить эти определения с теми, которые выражены соотношениями (8.31) и (8.32). В предшествующем разделе для примеров (8.25), (8.27) и (8.28) мы имели длительность и полосу . Новые определения дают:

В вычислениях, предоставляемых читателю, встречаются интегралы

Во многих статьях и руководствах по квантовой механике принимается . Тогда

что

Если такие же определения приняты для то соотношение неопределенности принимает вид

Эти определения представляются непрактичными в свете предшествующего обсуждения. Они ведут к тому, что нижняя грань делится на Для случая телевидения, упомянутого в предыдущем разделе, это означало бы, что достаточна полоса около . Разумеется, инженеры телевидения заменили бы полосу 6 Мгц шестью полосами по 1 Мгц. если бы это было возможно.