11. Анализ Фурье и метод отсчетов в трех измерениях

Методы, рассмотренные в предыдущих разделах, могут быть распространены с одного на два или на три измерения. Исследуем кратко эти проблемы и покажем связь с рентгеноструктурным анализом кристаллов или с дифракцией нейтронов.

Периодичность в пространстве проявляется в кристаллической решетке и может быть характеризована гремя переносами . Функция где — вектор периодична с этими тремя периодами, если она обладает следующим свойством:

где — положительные или отрицательные целые. Общий случай косоугольной системы векторов вызывает некоторые затруднения, которые отпадают в случае ортогональных векторов. Мы ограничимся этим более простым случаем и выберем прямоугольные координаты в направлениях (рис. 8.10). Составляющие векторов таковы:

Рис. 8.10. Прямоугольная решетка, определяемая ортогональными векторами

и периодичность (8.95) запишется как

(8.96а)

Три вектора определяют основную ячейку решетки с объемом

Периодическая функция F может быть разложена в тройной ряд Фурье:

где

Три обратных вектора также ортогональны и определяют ячейку обратной решетки (рис. 8.11):

Обратная решетка может быть определена и для косоугольных структур; ее исследование в этом случае приводит к сходным формулам. Коэффициенты Фурье , вычисляются с помощью следующего интеграла:

(8.98)

Для вещественной функции F

Эти формулы являются прямым обобщением (8.1), (8.2) и (8.3). Соответствие обозначений таково:

В трехмерном спектре могут встретиться различного рода ограничения.

А. Три отдельных предела в трех направлениях

откуда (см. рис. 8.11)

Величины представляют наивысшие частоты в направлениях 1, 2, 3. Задача представляет собой попросту наложение трех отдельных одномерных задач типа А (см. раздел 6 этой главы).

Рис. 8.11. Обратная решетка определяется векторами . Точки решетки лежат внутри показанного на рисунке параллелепипеда, если — наивысшие частоты в трех измерениях.

Рис. 8.12. Обратная решетка определена векторами . Наибольшая частота р не зависит от направления, и точки решетки вне сферы радиуса р исключены.

В этом примере имеем такое соответствие обозначений:

В. Рассмотрим единый предел частоты р при условии

(рис. 8.12). Это условие соответствует кратчайшей длине волны . Обсудим подробнее его физический смысл. Каждая составляющая в разложении (8.97) выражает

синусоидальное распределение в пространстве. Все точки, лежащие в плоскости

имеют ту же фазу, что и в начале. Другие параллельные плоскости с одинаковой фазой находятся из соотношения

где — целое. Длина волны есть расстояние между двумя соседними плоскостями и легко найти:

(8.100а)

где р определено (8.100). Большие значения h соответствуют коротким волнам. Вектор ортогонален плоскостям волн, и его длина есть .

Функции с ограниченным спектром (условие А или В) обладают только конечным числом степеней свободы. Условие А является более простым, так как оно непосредственно обобщает проблему А раздела 6. Аналогия с (8. 57) такова:

откуда общее число степеней свободы

(8.102)

Последнее приближение справедливо, если много больше, чем

Процедура отсчитывания, описанная в разделе 6 (см. (8.59)-(8.64)) непосредственно применима при прямоугольной решетке с N точками отсчета внутри ячейки :

Здесь имеется соответствие:

Исходная функция легко восстанавливается по отсчетам при помощи тройной суммы

(8.104)

где

Функция g была определена равенством (8.62):

(8.105)

если принять во внимание соответствие обозначений. Задача, таким образом, полностью решена, и метод отсчетов применяется без всяких затруднений.

Вторая задача, В, с единственным пределом р (см. (8.100)) является более сложной. Мы легко найдем конечное число степеней свободы, но метод отсчетов может быть лишь намечен и остается предметом обсуждения.

Составляющие Фурье в разложении (8.97) могут быть представлены наглядно, как точки на прямоугольной решетке:

(8.106)

где — положительные или отрицательные целые. Эта решетка известна как обратная решетка (reciprocal lattice). Каждая точка этой обратной решетки соответствует одной составляющей Фурье. Основная ячейка этой решетки имеет объем

откуда получаем:

(8.107)

точек обратной решетки на единицу объема. Предел (8.100)

соответствует сферической области в обратной решетке. Она имеет объем и содержит

(8.108)

точек в соответствии с (8.107). Это выражение дает число составляющих Фурье, а следовательно, и число независимых степеней свободы для нашей функции. Сходство между (8.102) и (8.108) очевидно. Первое равенство соответствует прямоугольной области в обратной решетке, второе — сферической.

Мы могли бы построить процедуру отсчитывания с использованием N точек отсчета в элементарной ячейке прямой решетки, но эта проблема не была пока должным образом обсуждена. Прямоугольная (или кубическая) решетка точек отсчета не подходит, так как не обладает требуемой сферической симметрией, и соответствует другой задаче (см. (8.99)). Можно представить себе систему точек решетки, размещенных в центрах плотно уложенных сфер. Это приводит к гранецентрированной кубической решетке), так как другие гексагональные структуры обладают меньшей симметрией 2).

Рассмотрим систему точек отсчета, расположенных в гранецентрированной кубической решетке с ребром 8. Куб 83 содержит четыре точки отсчета, и, следовательно, объем и на точку отсчета равен

(8.109)

В элементарной ячейке кристаллической решетки имеем:

точек отсчета. Это число точек отсчета должно равняться числу N степеней свободы (см. (8.108)), откуда находим:

(8.111)

Расстояние между плоскостями точек отсчета, параллельными осям равно ; расстояние между плоскостями, перпендикулярными к главным диагоналям, равно . Сравнение этих расстояний с кратчайшей длиной волны дает:

(8.112)

вместо условия

в трехмерной задаче (см. (8.103)).

Для последовательного доведения до конца метода отсчетов нужно рассмотреть импульсную функцию , соответствующую данной задаче. Импульсная функция должна содержать только волны длиннее 1/8. Остается выяснить, совместимо ли в трех (или двух) измерениях это условие с другим предположением относительно (8.60), а именно, что импульсная функция равна единице при и нулю во всех остальных точках отсчета. Если это второе условие не может быть выполнено, то применение метода отсчетов существенно усложнится. Единственное практическое решение состояло бы в применении процедуры, сходной с описанной в конце раздела 10, а именно, в произвольном введении границы типа А (см. (8.99)) путем тройного интегрирования вроде (8.94) с последующим использованием прямоугольной решетки точек отсчета (8.103) и (8.104). Это даст по крайней мере последовательный и практичный метод.