ГЛАВА II. ТЕПЛОВОЙ ШУМ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ; ФОРМУЛА НАЙКВИСТА

1. Модель со случайными импульсами

Применим некоторые результаты предыдущей главы к обсуждению формулы Найквиста, определяющей частотное распределение шума, обусловленного случайными тепловыми э.д.с. Напомним, что согласно (10.33) и (10.38) средний квадрат импульса э.д.с. F за время равен

Соотношение (11.2) получено путем рассмотрения модели со случайной э.д.с., причем каждая э.д.с. F постоянна на протяжении малого временного интервала и

Объединение (11.1) и (11.2) дает:

Хотя в нашей модели мы имеем случайную последовательность прямоугольных импульсов, спектр мощности этой последовательности совпадает со спектром одиночного прямоугольного импульса, так как при случайном следовании

импульсов (без корреляции) результат получается путем суммирования квадратов амплитуд частотных составляющих.

Для одиночного импульса э.д.с. высотой F и длительностью согласно (8.23) и (8.25) имеем:

где спектральная плотность

Длительность импульса есть и номинальная ширина полосы (глава 8, раздел 4):

В грубом приближении можно представить, что спектр прямоугольного импульса высотой F и длительностью простирается приблизительно от до с постоянной спектральной плотностью

Если мы не желаем вводить отрицательные частоты, то можно взять

и удвоить спектральную плотность (как в (11.4)):

Рассмотрим теперь последовательность импульсов длительностью и со средним . Средний квадрат э.д.с. согласно (11.3) равен

(11.10)

и занимает приблизительно полосу частот Поэтому

(11.11)

распределена почти равномерно в полосе частот от 0 до . Можно сделать пропорциональный переход к меньшему интервалу частот , т. е. к интервалу между v и

(11.12)

Это и есть формула Найквиста.