9. Рассуждение о фокусе в волноводе

Вернемся снова к условиям (15.67) и исследуем более тщательно условия вблизи фокуса в волноводе. Мы должны помнить, что стенки трубы действуют как совершенные зеркала, беспредельно отражающие сечение трубы вверх и вниз, вправо и влево, как показано на рис. 15.9. Фокус внутри трубы имеет свои изображения соседних прямоугольниках, и так без конца.

Рис. 15.9. Поперечное сечение волновода показано заштрихованной площадкой; фокус линзы находится в . Так как стенки волновода являются совершенными отражателями, то получаются изображения фокуса, как показано на рисунке.

Как можно представить такую ситуацию при помощи системы волн типа (15.62)? Заметим прежде всего, что фокальная плоскость z = 0 характеризуется тем, что все составляющие разложения (15.62) совпадают по фазе. Для другого значения z эти же составляющие имеют уже разные фазы вследствие того, что их скорости различны, и пучок расходится. Рассматривая только фокальную плоскость z = 0, имеем:

где

Мы можем разбить двойной ряд Фурье на два отдельных ряда, один по х, другой по у, и получим:

Мы исключаем чтобы избавиться от запрещенного члена 0, 0.

Задача симметрична относительно х и у. Рассмотрим только координату х. Мы желаем получить фокус и все его изображения. Это означает, что мы должны иметь острые максимумы функции в точках

где р — целое, положительное или отрицательное.

Мы построим ряд с конечным числом членов, представляющий такого рода ситуацию, но предварительно нам потребуются некоторые математические соотношения. Начнем с тождества Лагранжа, записав его в форме, несколько отличной от (13.35):

Этот результат получается путем простых тригонометрических преобразований, основанных на соотношениях

Возьмем теперь

что

или с применением (15.78)

Первый член дает острые максимумы при

когда знаменатель обращается в нуль. Второй член дает максимумы при

и это дает полную систему фокуса и его изображений, определяемых равенством (15.77). Система вырождается при , т. е. когда фокус находится в одном из углов сечения волновода.

Последовательность коэффициентов (15.79) дает в точности требуемые условия. Рассмотрим первоначальный фокус и его окрестность

Вторым членом (15.80) можно пренебречь. Первый член имеет в фокусе максимум, равный , и первые нули при

когда косинусный член знаменателя первого члена обращается в нуль. Ширина максимума может быть практически определена половиной расстояния между первыми нулями справа и слева:

Когда велико, это условие сводится к прежнему соотношению (15.67).

Аналогичные соображения применимы к координате у. Легко убедиться, что эти условия в точности соответствуют обычному определению разрешающей способности. Рассмотрим квадратную апертуру и возьмем одинаковые пределы вдоль х и у:

Радиус фокального пягна равен

Предельный угол 90 получается из (15.66):

так что

что и представляет собой обычную формулу для разрешающей способности, как функции длины волны и апертурного угла