2. Измерения длины с низкой точностью

Начнем с очень простой задачи: измерение длины при помощи метровой мерки. Мерка подразделена на мелкие части мм, например), и мы прикладываем мерку к измеряемому объекту так, чтобы их начала совпадали. Для того чтобы видеть мерку и объект, необходим свет, и мы

должны смотреть на каждое подразделение мерки, пока не найдем то деление, которое содержит конец объекта. Для точного обсуждения мы абстрагируем процедуру следующим образом, мы рассматриваем частицу, находящуюся где-то внутри интервала от 0 до L на оси х, и хотим определить ее положение с точностью . Для этого мы подразделяем сегмент L на интервалов длиной каждый:

Теперь задача состоит в том, чтобы найти интервал, в котором находится частица. Мы перемещаем луч света (например, системой зеркал) через каждый из интервалов. Каждый интервал снабжен резонатором, который будет воспринимать свет, рассеянный частицей, если она находится в данном интервале. Каждый из резонаторов поддерживается при температуре Г, и мы пока предполагаем, что применяется свет низкой частоты . Измерение может производиться одним из двух способов.

Случай I. Мы наблюдаем первый резонатор, а затем все последующие по очереди, пока не отметим, скажем в интервале , положительное отклонение, которое может быть истинным или ложным.

Случай II. Мы наблюдаем все резонаторов и отмечаем, скажем, j положительных отклонений из которых одно соответствует наличию частицы, а остальные являются ложными.

Подсчитаем получаемую информацию и связанное с ней увеличение энтропии, чтобы показать, что в обоих случаях

Для этого воспользуемся результатами главы 14, относящимися к наблюдениям, требующим применения многих резонаторов. Как и в главе 14, мы не будем придавать значения отрицательным отсчетам. Считается, что только положительные отсчеты (т. е. наблюдение высокой энергии в резонаторе) дают информацию. И так же, как и в главе 14, вычисленное увеличение энтропии будет представлять собой нижнюю грань.

Случай I. В этом случае частица наблюдается в интервале причем . Таким образом, частица локализована

в некотором положении из числа априори возможных i положений, и, следовательно, полученная информация есть

Было сделано наблюдение над i резонаторами, из числа которых один резонатор поглотил энергию, рассеиваемую затем в термостате, так что связанное с этим увеличение энтропии равно согласно (14.26)

Если i велико, то, используя выражения (15.5), (15.5а) и (14.23) для , имеем:

Конечно, I может быть невелико: мы можем обнаружить частицу в первом или втором интервале. В этом случае мы не можем пользоваться асимптотическим выражением (14.23) для хотя неравенство (15.6) сохраняет силу.

В таблице 15.1 приведены данные для нескольких малых значений .

Таблица 15.1

Случай II. В этом случае мы имеем j положительных отсчетов, так что число возможных положений частицы сократилось от исходного до . Полученная информация равна

В этом случае j резонаторов поглотили энергию, которая затем должна быть рассеяна. Это дает увеличение энтропии на

гак как наблюдались все n резонаторов. Мы снова воспользовались равенством (14.26). Полагая, что n достаточно велико для того, чтобы можно было воспользоваться асимптотическим выражением (14.23) для мы получаем с помощью (15.7) и (15.7а):

Это равенство совпадает с (15.6) при т. е. если только один резонатор дает положительный отсчет. При случай II дает меньшую информацию и большее увеличение энтропии.

В последующих разделах мы воспользуемся результатами, полученными для случая II при . В этом случае получается наименьшая разность (из числа рассмотренных примеров) между увеличением энтропии и информацией; в то же время в этом случае мы можем считать, что n велико и асимптотическое выражение для применимо.

Нужно отметить, что другие возможные устройства дают всегда большее увеличение энтропии для равного количества информации. Так, например, можно устроить резонаторы так, чтобы они получали свет непосредственно; при этом положительный отсчет указывает на отсутствие частицы. В этом случае ищется отрицательный отсчет, указывающий, что частица преграждает прохождение света через данный интервал. Легко убедиться, что такой эксперимент дает много большее увеличение энтропии, так как большая часть резонаторов поглощает свет.