9. Автокорреляция и спектр; формула Винера — Хинчина

Рассмотрим снова задачу А раздела 6 для вещественной периодической функции с периодом (см. (8.52)), спектр которой не содержит частот выше Разложим в комплексный ряд Фурье (8.1) и (8.58):

Определим автокорреляционную функцию для функции :

Заменяя его разложением Фурье (8.76), получаем

(8.78)

так как интеграл равен как раз в соответствии с (8.2).

Мы получили, таким образом, разложение Фурье для заметим, что оно содержит только квадраты модулей

коэффициентов Фурье функции f(t). Фазы выпали в процессе усреднения согласно (8.77) и (8.79). Можно переписать (8.78) следующим образом (используя симметрию (8.79)):

Функция автокорреляции есть четная функция времени сдвига Она, как и исходная функция, периодична с тем же периодом и имеет то же частотное ограничение . Равенство (8.80) представляет специальный случай формулы

Винера—Хинчина, связывающей автокорреляцию и спектр. Исходная функция имеет конечное число N степеней свободы (см. (8.57)):

среди которых мы можем различить:

откуда

Новое разложение (8.80) содержит только степеней свободы, так как мы потеряли фаз. От разложений Фурье (8.78) и (8.80) автокорреляционной функции мы можем перейти к процедуре отсчетов, сходной с использованной в (8.59) и (8.63). Выберем N равноотстоящих точек отсчета на протяжении полного периода , простирающегося от до

и рассмотрим отсчеты

Условие симметрии (8.80) оставляет нам независимых отсчетов, соответствующих

что находится в соответствии с предыдущим рассуждением, согласно которому число степеней свободы равно . Функция может быть восстановлена по отсчетам, как в (8.60):

где функция g определена равенством (8.62).

Эта процедура использует только степеней свободы исходной функции из общего числа . Она с успехом применяется во всех задачах, в которых фазы неизвестны либо по причине их случайности (проблемы шума), либо вследствие того, что измерительный процесс не в состоянии обнаружить фазовые углы (например, исследование строения кристаллов рентгеновыми лучами). Вместо комплексного ряда Фурье (8.76) для f(t) мы можем воспользоваться рядом Фурье в вещественной форме (8.54):

(8.87)

и согласно (8.80)

Белый (тепловой) шум, например, дает постоянное значение , не зависящее от n.