9. Автокорреляция и спектр; формула Винера — Хинчина
Рассмотрим снова задачу А раздела 6 для вещественной периодической функции 
с периодом 
(см. (8.52)), спектр которой не содержит частот выше Разложим 
в комплексный ряд Фурье (8.1) и (8.58):
Определим автокорреляционную функцию 
для функции 
:
Заменяя 
его разложением Фурье (8.76), получаем
(8.78)
так как интеграл равен как раз 
в соответствии с (8.2).
Мы получили, таким образом, разложение Фурье для 
заметим, что оно содержит только квадраты модулей
коэффициентов Фурье функции f(t). Фазы выпали в процессе усреднения согласно (8.77) и (8.79). Можно переписать (8.78) следующим образом (используя симметрию (8.79)):
Функция автокорреляции есть четная функция времени сдвига Она, как и исходная функция, периодична с тем же периодом 
и имеет то же частотное ограничение 
. Равенство (8.80) представляет специальный случай формулы
Винера—Хинчина, связывающей автокорреляцию и спектр. Исходная функция 
имеет конечное число N степеней свободы (см. (8.57)):
среди которых мы можем различить:
откуда
Новое разложение (8.80) содержит только 
степеней свободы, так как мы потеряли 
фаз. От разложений Фурье (8.78) и (8.80) автокорреляционной функции мы можем перейти к процедуре отсчетов, сходной с использованной в (8.59) и (8.63). Выберем N равноотстоящих точек отсчета на протяжении полного периода 
, простирающегося от 
до 
и рассмотрим отсчеты
Условие симметрии (8.80) оставляет нам 
независимых отсчетов, соответствующих
что находится в соответствии с предыдущим рассуждением, согласно которому число степеней свободы равно 
. Функция 
может быть восстановлена по отсчетам, как в (8.60):
где функция g определена равенством (8.62).
Эта процедура использует только 
степеней свободы исходной функции из общего числа 
. Она с успехом применяется во всех задачах, в которых фазы 
неизвестны либо по причине их случайности (проблемы шума), либо вследствие того, что измерительный процесс не в состоянии обнаружить фазовые углы (например, исследование строения кристаллов рентгеновыми лучами). Вместо комплексного ряда Фурье (8.76) для f(t) мы можем воспользоваться рядом Фурье в вещественной форме (8.54):
(8.87)
и согласно (8.80)
Белый (тепловой) шум, например, дает постоянное значение 
, не зависящее от n.
