6. Степени свободы сообщения

Рассмотрим теперь следующий вопрос: некоторая функция времени f(t) имеет спектр, не содержащий частот выше , и существует на промежутке времени х. Сколько параметров (или степеней свободы) необходимо для определения такой функции? Мы докажем, что для такой функции имеется только

(предполагая, что ) независимых параметров, и обсудим различные возможные выборы этих параметров, а также некоторые общие свойства рассматриваемых функций.

Заметим прежде всего, что функция не определена полностью, если заданы ее значения только на конечном интервале, например Для корректной постановки задачи нужно задать значения функции до 0 и после . При этом не должно добавляться что-либо к информации, содержащейся в сообщении .

Можно применить два различных определения.

A. Периодическая функция f(t), бесконечно повторяющая ход между 0 и :

где q — целое.

B. Функция одиночного сообщения (single message function):

Последний пример рассмотрен Шенноном.

Начнем с определения А и исследуем периодическую функцию с периодом . Представим эту функцию рядом

Фурье:

где

Положим, что высшая частота равна в точности частоте одной из гармоник:

Ряд Фурье содержит конечное число членов вплоть до члена с номером . Для каждой гармоники имеем две составляющие , а всего

составляющих, включая и постоянную . Если длительность сигнала достаточно велика, то (8.57) практически переходит в (8.51). Коэффициенты представляют один возможный выбор параметров. Вместо вещественного ряда Фурье (8.54) мы можем воспользоваться комплексной формой (8.1) и (8.2):

где звездочка означает комплексно-сопряженную величину.

Вместо ряда Фурье мы можем применить к нашим периодическим функциям f(t) метод отсчетов (sampling method). Выберем N равноотстоящих точек на протяжении периода , например:

причем

и назовем отсчетом (sampled value) мгновенное значение

(8.59а)

причем в силу условия периодичности (8.52)

где q — целое. Мы можем восстановить исходную функцию , если известны отсчетов на протяжении периода . Запишем:

где означает импульсную функцию, периодически повторяемую в моменты . Этой импульсной функции мы придаем следующие свойства:

Импульсная функция равна нулю во всех остальных точках отсчета на протяжении периода . Такую функцию нетрудно построить с конечным спектром, ограниченным частотой . Решение задачи содержится в тождестве Лагранжа:

где берется . Эта функция равна при или где знаменатель равен нулю. Она колеблется и обращается в нуль в точках

если m не является целым, кратным N.

Мы можем взять для нашей импульсной функции g(t) выражение

Сравнивая (8.60), (8.62) и (8.58), получаем:

откуда

— равенство, непосредственно связывающее коэффициенты Фурье с отсчетами . Обратное соотношение получается из (8.58):

(8.63а)

В комплексном ряде Фурье мы имеем комплексных амплитуд , которые являются комплексно-сопряженными для . Это дает в общем N независимых действительных переменных, и наши N точек отсчета обеспечивают равное число степеней свободы. Легко непосредственно проверить (8.63) и (8.63а):

но

так как для имеется N членов, равных единице, тогда как для гармонических членов имеют фазы, равномерно распределенные между 0 и что дает в результате нуль. В общем,

что и требовалось доказать.

Вместо отсчитывания в моменты можно взять моменты с постоянным смещением . Это дает другую систему отсчетов , которую можно применять вместо . Равенства (8.63) и (8.63а) заменяются на

Между существует система TV линейных зависимостей.