4. Действие демона как преобразование информации в негэнтропию

Значение общей проблемы таково, что она требует более пристального и подробного изучения. В этом разделе мы дополним рассуждение, намеченное Джейкобсоном. Выберем пример более простой, чем придуманный Максвеллом. Вместо «температурного демона» будем рассматривать «демона давления». Действуя дверцей, он пропускает атомы из В в С и не позволяет атомам ускользнуть из С обратно в В. Через некоторое время он получит в С большее давление, а в В — меньшее. Эту операцию легче обсуждать, и «демон

давления» не нуждается в точном измерении скорости, так что мы можем не учитывать соотношение неопределенности.

Для устранения второстепенных параметров мы примем условия опыта, показанного на рис. 13.1. Сосуды В к С соединены трубкой с площадью сечения А, равной площади отверстия и дверцы. Луч света от внешнего источника проходит через стеклянные окошки, рассеянный атомами свет используется для их обнаружения.

Рис. 13.1. Сосуды В и С содержат частицы под давлениями соответственно. Частицы могут переходить из В в С вдоль трубы с площадью поперечного сечения А. Два вращающихся затвора с отверстиями площади А установлены так, что частица, проходящая через левый затвор, пройдет также и через правый затвор в том случае, если она имеет приблизительно определенную, наперед заданную скорость. Луч света (2) проходит через стеклянные окошки в трубе для обнаружения частицы. Свет, рассеянный частицей, поглощается фотоэлементом D, который при этом открывает дверцу 3), так что частица может пройти в С.

Обнаружение должно происходить на некотором расстоянии х до дверцы, и скорости атомов должны быть известны хотя бы приблизительно для того, чтобы определить момент, когда нужно открыть дверцу. Можно, например, применить систему вращающихся затворов, пропускающих атомы, если они имеют скорость, приближающуюся к средней, и задерживающих атомы с отличными скоростями. В такого рода устройстве площадь А определяется точно, а скорость атомов — приблизительно.

Найдем количество информации, которое нужно демону для успешного действия. Рассмотрим длинный промежуток времени t, подразделенный на малые интервалы т. Демон должен знать, открыть ли ему дверцу на протяжении интервала или держать ее закрытой. На каждом интервале требуемая информация такова: имеется ли частица (или частицы), которая

должна попасть в дверцу площади А слева? Это — типичный вопрос с ответом «да» или «нет». Имеется априорная вероятность для «да» и для «нет». На протяжении длинного промежутка t число малых интервалов, в течение которых дверца будет открыта или закрыта, пропорционально в среднем соответствующим вероятностям:

Наши определения информации (глава 1) непосредственно применимы к такого рода задаче и дают информацию на интервал :

(в термодинамических единицах).

Рассмотрим теперь нашу задачу с позиций кинетической теории. Среднее число молекул, попадающих в дверцу площади А за время (при температуре ) пропорционально плотности газа. Мы имеем в среднем:

и

где — давления в В и С соответственно. Действие затвора, отбирающего движущиеся слева молекулы со средней скоростью, отсеет часть молекул, движущихся в этом направлении (вследствие отражения от второго затвора), и поэтому в (13.20) нужно внести поправку:

Соотношение между таково:

и если , то и Вывод этого соотношения дан в приложении 1 в конце главы.

Из (13.22) получаем для информации на интервал :

(13.23)

которое при малых и сводится к

если пренебречь высшими степенями n.

Теперь мы можем подсчитать убыль энтропии в результате действия дверцы. Число частиц в сосуде С возрастает за время на величину (т. е. на число частиц, поступающих слева направо) за вычетом (число частиц, уходящих справа налево), так как дверца открыта лишь долю всего времени:

и изменение энтропии равно

Это соотношение получается следующим образом: перепишем выражение (12.12) для энтропии идеального одноатомного газа в виде

где а зависит массы молекул и от их средней энергии. В нашей задаче масса для обоих сосудов В и С одинакова, и если средняя энергия вначале одинакова, то она и останется одинаковой на протяжении всего опыта в силу способа, которым демон переводит молекулы из B в С. Энтропия системы равна

При переводе молекул из В в С объемы остаются неизменными и

так что

Но из известного соотношения кинетической теории

и с учетом нашего предположения о равенстве средних энергий (13.26) получается непосредственно.

Формула (13.26) показывает, что уменьшение энтропии может быть получено только, если , и что наиболее благоприятные условия состоят в том, что

Это означает, что число молекул, ускользающих обратно, остается малым.

Мы в состоянии теперь подсчитать эффективность действия демона на втором этане преобразования (13.2):

информация -> негэнтропия.

Мы определяем эффективность отношением

в соответствии с (13.24), (13.26) и (13.27). Возьмем

и

так что

Эффективность всегда меньше единицы и может приближаться к единице, когда велико, а очень велико; в этом случае и наверняка очень мало, что подтверждает наши предположения (13.24) и (13.27). Таким образом, высокая эффективность на втором этапе преобразования получается при большой разности давлений между С и В.